funcnvuni

Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of single-rooted sets is single-rooted. (See funcnv for "single-rooted" definition.) (Contributed by NM, 11-Aug-2004)

		Ref	Expression
	Assertion	funcnvuni	\|- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Fun `' U. A )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq	\|- ( x = v -> `' x = `' v )
2	1	eqeq2d	\|- ( x = v -> ( z = `' x <-> z = `' v ) )
3	2	cbvrexvw	\|- ( E. x e. A z = `' x <-> E. v e. A z = `' v )
4		cnveq	\|- ( f = v -> `' f = `' v )
5	4	funeqd	\|- ( f = v -> ( Fun `' f <-> Fun `' v ) )
6		sseq1	\|- ( f = v -> ( f C_ g <-> v C_ g ) )
7		sseq2	\|- ( f = v -> ( g C_ f <-> g C_ v ) )
8	6 7	orbi12d	\|- ( f = v -> ( ( f C_ g \/ g C_ f ) <-> ( v C_ g \/ g C_ v ) ) )
9	8	ralbidv	\|- ( f = v -> ( A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) <-> A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) ) )
10	5 9	anbi12d	\|- ( f = v -> ( ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> ( Fun `' v /\ A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) ) ) )
11	10	rspcv	\|- ( v e. A -> ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> ( Fun `' v /\ A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) ) ) )
12		funeq	\|- ( z = `' v -> ( Fun z <-> Fun `' v ) )
13	12	biimprcd	\|- ( Fun `' v -> ( z = `' v -> Fun z ) )
14		sseq2	\|- ( g = x -> ( v C_ g <-> v C_ x ) )
15		sseq1	\|- ( g = x -> ( g C_ v <-> x C_ v ) )
16	14 15	orbi12d	\|- ( g = x -> ( ( v C_ g \/ g C_ v ) <-> ( v C_ x \/ x C_ v ) ) )
17	16	rspcv	\|- ( x e. A -> ( A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) -> ( v C_ x \/ x C_ v ) ) )
18		cnvss	\|- ( v C_ x -> `' v C_ `' x )
19		cnvss	\|- ( x C_ v -> `' x C_ `' v )
20	18 19	orim12i	\|- ( ( v C_ x \/ x C_ v ) -> ( `' v C_ `' x \/ `' x C_ `' v ) )
21		sseq12	\|- ( ( z = `' v /\ w = `' x ) -> ( z C_ w <-> `' v C_ `' x ) )
22	21	ancoms	\|- ( ( w = `' x /\ z = `' v ) -> ( z C_ w <-> `' v C_ `' x ) )
23		sseq12	\|- ( ( w = `' x /\ z = `' v ) -> ( w C_ z <-> `' x C_ `' v ) )
24	22 23	orbi12d	\|- ( ( w = `' x /\ z = `' v ) -> ( ( z C_ w \/ w C_ z ) <-> ( `' v C_ `' x \/ `' x C_ `' v ) ) )
25	20 24	syl5ibrcom	\|- ( ( v C_ x \/ x C_ v ) -> ( ( w = `' x /\ z = `' v ) -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) )
26	25	expd	\|- ( ( v C_ x \/ x C_ v ) -> ( w = `' x -> ( z = `' v -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) )
27	17 26	syl6com	\|- ( A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) -> ( x e. A -> ( w = `' x -> ( z = `' v -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
28	27	rexlimdv	\|- ( A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) -> ( E. x e. A w = `' x -> ( z = `' v -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) )
29	28	com23	\|- ( A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) -> ( z = `' v -> ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) )
30	29	alrimdv	\|- ( A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) -> ( z = `' v -> A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) )
31	13 30	anim12ii	\|- ( ( Fun `' v /\ A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) ) -> ( z = `' v -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
32	11 31	syl6com	\|- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> ( v e. A -> ( z = `' v -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) ) )
33	32	rexlimdv	\|- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> ( E. v e. A z = `' v -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
34	3 33	biimtrid	\|- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> ( E. x e. A z = `' x -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
35	34	alrimiv	\|- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. z ( E. x e. A z = `' x -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
36		df-ral	\|- ( A. z e. { y \| E. x e. A y = `' x } ( Fun z /\ A. w e. { y \| E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) <-> A. z ( z e. { y \| E. x e. A y = `' x } -> ( Fun z /\ A. w e. { y \| E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) )
37		vex	\|- z e. _V
38		eqeq1	\|- ( y = z -> ( y = `' x <-> z = `' x ) )
39	38	rexbidv	\|- ( y = z -> ( E. x e. A y = `' x <-> E. x e. A z = `' x ) )
40	37 39	elab	\|- ( z e. { y \| E. x e. A y = `' x } <-> E. x e. A z = `' x )
41		eqeq1	\|- ( y = w -> ( y = `' x <-> w = `' x ) )
42	41	rexbidv	\|- ( y = w -> ( E. x e. A y = `' x <-> E. x e. A w = `' x ) )
43	42	ralab	\|- ( A. w e. { y \| E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) <-> A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) )
44	43	anbi2i	\|- ( ( Fun z /\ A. w e. { y \| E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) <-> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) )
45	40 44	imbi12i	\|- ( ( z e. { y \| E. x e. A y = `' x } -> ( Fun z /\ A. w e. { y \| E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) <-> ( E. x e. A z = `' x -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
46	45	albii	\|- ( A. z ( z e. { y \| E. x e. A y = `' x } -> ( Fun z /\ A. w e. { y \| E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) <-> A. z ( E. x e. A z = `' x -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
47	36 46	bitr2i	\|- ( A. z ( E. x e. A z = `' x -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) <-> A. z e. { y \| E. x e. A y = `' x } ( Fun z /\ A. w e. { y \| E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) )
48	35 47	sylib	\|- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. z e. { y \| E. x e. A y = `' x } ( Fun z /\ A. w e. { y \| E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) )
49		fununi	\|- ( A. z e. { y \| E. x e. A y = `' x } ( Fun z /\ A. w e. { y \| E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) -> Fun U. { y \| E. x e. A y = `' x } )
50	48 49	syl	\|- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Fun U. { y \| E. x e. A y = `' x } )
51		cnvuni	\|- `' U. A = U_ x e. A `' x
52		vex	\|- x e. _V
53	52	cnvex	\|- `' x e. _V
54	53	dfiun2	\|- U_ x e. A `' x = U. { y \| E. x e. A y = `' x }
55	51 54	eqtri	\|- `' U. A = U. { y \| E. x e. A y = `' x }
56	55	funeqi	\|- ( Fun `' U. A <-> Fun U. { y \| E. x e. A y = `' x } )
57	50 56	sylibr	\|- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Fun `' U. A )

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Theorem funcnvuni

Proof