This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem cnvuni

Description: The converse of a class union is the (indexed) union of the converses of its members. (Contributed by NM, 11-Aug-2004)

Ref Expression
Assertion cnvuni 
|- `' U. A = U_ x e. A `' x

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elcnv2 
 |-  ( y e. `' U. A <-> E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) )
2 eluni2 
 |-  ( <. w , z >. e. U. A <-> E. x e. A <. w , z >. e. x )
3 2 anbi2i 
 |-  ( ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) <-> ( y = <. z , w >. /\ E. x e. A <. w , z >. e. x ) )
4 r19.42v 
 |-  ( E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> ( y = <. z , w >. /\ E. x e. A <. w , z >. e. x ) )
5 3 4 bitr4i 
 |-  ( ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) <-> E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
6 5 2exbii 
 |-  ( E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) <-> E. z E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
7 elcnv2 
 |-  ( y e. `' x <-> E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
8 7 rexbii 
 |-  ( E. x e. A y e. `' x <-> E. x e. A E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
9 rexcom4 
 |-  ( E. x e. A E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. z E. x e. A E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
10 rexcom4 
 |-  ( E. x e. A E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
11 10 exbii 
 |-  ( E. z E. x e. A E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. z E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
12 8 9 11 3bitrri 
 |-  ( E. z E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. x e. A y e. `' x )
13 1 6 12 3bitri 
 |-  ( y e. `' U. A <-> E. x e. A y e. `' x )
14 eliun 
 |-  ( y e. U_ x e. A `' x <-> E. x e. A y e. `' x )
15 13 14 bitr4i 
 |-  ( y e. `' U. A <-> y e. U_ x e. A `' x )
16 15 eqriv 
 |-  `' U. A = U_ x e. A `' x