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Theorem facavg

Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005)

Ref Expression
Assertion facavg 
|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 nn0readdcl 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. RR )
2 1 rehalfcld 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M + N ) / 2 ) e. RR )
3 flle 
 |-  ( ( ( M + N ) / 2 ) e. RR -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) )
4 2 3 syl 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) )
5 reflcl 
 |-  ( ( ( M + N ) / 2 ) e. RR -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. RR )
6 2 5 syl 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. RR )
7 nn0re 
 |-  ( M e. NN0 -> M e. RR )
8 7 adantr 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. RR )
9 letr 
 |-  ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. RR /\ ( ( M + N ) / 2 ) e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) /\ ( ( M + N ) / 2 ) <_ M ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M ) )
10 6 2 8 9 syl3anc 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) /\ ( ( M + N ) / 2 ) <_ M ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M ) )
11 4 10 mpand 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ M -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M ) )
12 nn0addcl 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 )
13 12 nn0ge0d 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( M + N ) )
14 halfnneg2 
 |-  ( ( M + N ) e. RR -> ( 0 <_ ( M + N ) <-> 0 <_ ( ( M + N ) / 2 ) ) )
15 1 14 syl 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( M + N ) <-> 0 <_ ( ( M + N ) / 2 ) ) )
16 13 15 mpbid 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( ( M + N ) / 2 ) )
17 flge0nn0 
 |-  ( ( ( ( M + N ) / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( ( M + N ) / 2 ) ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 )
18 2 16 17 syl2anc 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 )
19 simpl 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. NN0 )
20 facwordi 
 |-  ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 /\ M e. NN0 /\ ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) )
21 20 3exp 
 |-  ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) ) ) )
22 18 19 21 sylc 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) ) )
23 faccl 
 |-  ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. NN )
24 23 nncnd 
 |-  ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. CC )
25 24 mulridd 
 |-  ( M e. NN0 -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) = ( ! ` M ) )
26 25 adantr 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) = ( ! ` M ) )
27 faccl 
 |-  ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
28 27 nnred 
 |-  ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. RR )
29 28 adantl 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` N ) e. RR )
30 23 nnred 
 |-  ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. RR )
31 23 nnnn0d 
 |-  ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. NN0 )
32 31 nn0ge0d 
 |-  ( M e. NN0 -> 0 <_ ( ! ` M ) )
33 30 32 jca 
 |-  ( M e. NN0 -> ( ( ! ` M ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` M ) ) )
34 33 adantr 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` M ) ) )
35 27 nnge1d 
 |-  ( N e. NN0 -> 1 <_ ( ! ` N ) )
36 35 adantl 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ ( ! ` N ) )
37 1re 
 |-  1 e. RR
38 lemul2a 
 |-  ( ( ( 1 e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR /\ ( ( ! ` M ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` M ) ) ) /\ 1 <_ ( ! ` N ) ) -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
39 37 38 mp3anl1 
 |-  ( ( ( ( ! ` N ) e. RR /\ ( ( ! ` M ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` M ) ) ) /\ 1 <_ ( ! ` N ) ) -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
40 29 34 36 39 syl21anc 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
41 26 40 eqbrtrrd 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
42 18 faccld 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. NN )
43 42 nnred 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. RR )
44 30 adantr 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` M ) e. RR )
45 remulcl 
 |-  ( ( ( ! ` M ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
46 30 28 45 syl2an 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
47 letr 
 |-  ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. RR /\ ( ! ` M ) e. RR /\ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) /\ ( ! ` M ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
48 43 44 46 47 syl3anc 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) /\ ( ! ` M ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
49 41 48 mpan2d 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
50 11 22 49 3syld 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ M -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
51 nn0re 
 |-  ( N e. NN0 -> N e. RR )
52 51 adantl 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. RR )
53 letr 
 |-  ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. RR /\ ( ( M + N ) / 2 ) e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) /\ ( ( M + N ) / 2 ) <_ N ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N ) )
54 6 2 52 53 syl3anc 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) /\ ( ( M + N ) / 2 ) <_ N ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N ) )
55 4 54 mpand 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ N -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N ) )
56 simpr 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
57 facwordi 
 |-  ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) )
58 57 3exp 
 |-  ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) ) ) )
59 18 56 58 sylc 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) ) )
60 27 nncnd 
 |-  ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. CC )
61 60 mullidd 
 |-  ( N e. NN0 -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) = ( ! ` N ) )
62 61 adantl 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) = ( ! ` N ) )
63 27 nnnn0d 
 |-  ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN0 )
64 63 nn0ge0d 
 |-  ( N e. NN0 -> 0 <_ ( ! ` N ) )
65 28 64 jca 
 |-  ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` N ) ) )
66 65 adantl 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` N ) ) )
67 23 nnge1d 
 |-  ( M e. NN0 -> 1 <_ ( ! ` M ) )
68 67 adantr 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ ( ! ` M ) )
69 lemul1a 
 |-  ( ( ( 1 e. RR /\ ( ! ` M ) e. RR /\ ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` N ) ) ) /\ 1 <_ ( ! ` M ) ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
70 37 69 mp3anl1 
 |-  ( ( ( ( ! ` M ) e. RR /\ ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` N ) ) ) /\ 1 <_ ( ! ` M ) ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
71 44 66 68 70 syl21anc 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
72 62 71 eqbrtrrd 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` N ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
73 letr 
 |-  ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR /\ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) /\ ( ! ` N ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
74 43 29 46 73 syl3anc 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) /\ ( ! ` N ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
75 72 74 mpan2d 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
76 55 59 75 3syld 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ N -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
77 avgle 
 |-  ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ M \/ ( ( M + N ) / 2 ) <_ N ) )
78 7 51 77 syl2an 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ M \/ ( ( M + N ) / 2 ) <_ N ) )
79 50 76 78 mpjaod 
 |-  ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )