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Theorem srglmhm

Description: Left-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism, analogous to ringlghm . (Contributed by AV, 23-Aug-2019)

Ref Expression
Hypotheses srglmhm.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
srglmhm.t ⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
Assertion srglmhm ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝑅 MndHom 𝑅 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 srglmhm.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
2 srglmhm.t ⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
3 srgmnd ⊢ ( 𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd )
4 3 3 jca ⊢ ( 𝑅 ∈ SRing → ( 𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd ) )
5 4 adantr ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd ) )
6 1 2 srgcl ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 · 𝑥 ) ∈ 𝐵 )
7 6 3expa ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 · 𝑥 ) ∈ 𝐵 )
8 7 fmpttd ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) : 𝐵 ⟶ 𝐵 )
9 3anass ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ↔ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) )
10 eqid ⊢ ( +g ‘ 𝑅 ) = ( +g ‘ 𝑅 )
11 1 10 2 srgdi ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 · ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑋 · 𝑏 ) ) )
12 9 11 sylan2br ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑋 · ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑋 · 𝑏 ) ) )
13 12 anassrs ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 · ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑋 · 𝑏 ) ) )
14 1 10 srgacl ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ∈ 𝐵 )
15 14 3expb ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ∈ 𝐵 )
16 15 adantlr ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ∈ 𝐵 )
17 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) → ( 𝑋 · 𝑥 ) = ( 𝑋 · ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) )
18 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) )
19 ovex ⊢ ( 𝑋 · ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) ∈ V
20 17 18 19 fvmpt ⊢ ( ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) = ( 𝑋 · ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) )
21 16 20 syl ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) = ( 𝑋 · ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) )
22 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = 𝑎 → ( 𝑋 · 𝑥 ) = ( 𝑋 · 𝑎 ) )
23 ovex ⊢ ( 𝑋 · 𝑎 ) ∈ V
24 22 18 23 fvmpt ⊢ ( 𝑎 ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑋 · 𝑎 ) )
25 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( 𝑋 · 𝑥 ) = ( 𝑋 · 𝑏 ) )
26 ovex ⊢ ( 𝑋 · 𝑏 ) ∈ V
27 25 18 26 fvmpt ⊢ ( 𝑏 ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑏 ) = ( 𝑋 · 𝑏 ) )
28 24 27 oveqan12d ⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑋 · 𝑏 ) ) )
29 28 adantl ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑋 · 𝑏 ) ) )
30 13 21 29 3eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑏 ) ) )
31 30 ralrimivva ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑏 ) ) )
32 eqid ⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ 𝑅 )
33 1 32 srg0cl ⊢ ( 𝑅 ∈ SRing → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 )
34 33 adantr ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 )
35 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = ( 0g ‘ 𝑅 ) → ( 𝑋 · 𝑥 ) = ( 𝑋 · ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
36 ovex ⊢ ( 𝑋 · ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ∈ V
37 35 18 36 fvmpt ⊢ ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 𝑋 · ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
38 34 37 syl ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 𝑋 · ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
39 1 2 32 srgrz ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 · ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
40 38 39 eqtrd ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
41 8 31 40 3jca ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) : 𝐵 ⟶ 𝐵 ∧ ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
42 1 1 10 10 32 32 ismhm ⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝑅 MndHom 𝑅 ) ↔ ( ( 𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) : 𝐵 ⟶ 𝐵 ∧ ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
43 5 41 42 sylanbrc ⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝑅 MndHom 𝑅 ) )