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Theorem ringlghm

Description: Left-multiplication in a ring by a fixed element of the ring is a group homomorphism. (It is not usually a ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015)

Ref Expression
Hypotheses ringlghm.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
ringlghm.t ⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
Assertion ringlghm ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝑅 GrpHom 𝑅 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ringlghm.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
2 ringlghm.t ⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
3 eqid ⊢ ( +g ‘ 𝑅 ) = ( +g ‘ 𝑅 )
4 ringgrp ⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp )
5 4 adantr ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → 𝑅 ∈ Grp )
6 1 2 ringcl ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 · 𝑥 ) ∈ 𝐵 )
7 6 3expa ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 · 𝑥 ) ∈ 𝐵 )
8 7 fmpttd ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) : 𝐵 ⟶ 𝐵 )
9 3anass ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ↔ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) )
10 1 3 2 ringdi ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 · ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑋 · 𝑧 ) ) )
11 9 10 sylan2br ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑋 · ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑋 · 𝑧 ) ) )
12 11 anassrs ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 · ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑋 · 𝑧 ) ) )
13 1 3 ringacl ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ∈ 𝐵 )
14 13 3expb ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ∈ 𝐵 )
15 14 adantlr ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ∈ 𝐵 )
16 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) → ( 𝑋 · 𝑥 ) = ( 𝑋 · ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) )
17 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) )
18 ovex ⊢ ( 𝑋 · ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) ∈ V
19 16 17 18 fvmpt ⊢ ( ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) = ( 𝑋 · ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) )
20 15 19 syl ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) = ( 𝑋 · ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) )
21 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑋 · 𝑥 ) = ( 𝑋 · 𝑦 ) )
22 ovex ⊢ ( 𝑋 · 𝑦 ) ∈ V
23 21 17 22 fvmpt ⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) = ( 𝑋 · 𝑦 ) )
24 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑋 · 𝑥 ) = ( 𝑋 · 𝑧 ) )
25 ovex ⊢ ( 𝑋 · 𝑧 ) ∈ V
26 24 17 25 fvmpt ⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝑋 · 𝑧 ) )
27 23 26 oveqan12d ⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑋 · 𝑧 ) ) )
28 27 adantl ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑋 · 𝑧 ) ) )
29 12 20 28 3eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑧 ) ) )
30 1 1 3 3 5 5 8 29 isghmd ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝑅 GrpHom 𝑅 ) )