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Theorem ordtopn3

Description: An open interval ( A , B ) is open. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015)

Ref Expression
Hypothesis ordttopon.3 ⊢ 𝑋 = dom 𝑅
Assertion ordtopn3 ( ( 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ( ¬ 𝑥 𝑅 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 𝑅 𝑥 ) } ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ordttopon.3 ⊢ 𝑋 = dom 𝑅
2 inrab ⊢ ( { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥 𝑅 𝐴 } ∩ { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵 𝑅 𝑥 } ) = { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ( ¬ 𝑥 𝑅 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 𝑅 𝑥 ) }
3 1 ordttopon ⊢ ( 𝑅 ∈ 𝑉 → ( ordTop ‘ 𝑅 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) )
4 3 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( ordTop ‘ 𝑅 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) )
5 topontop ⊢ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → ( ordTop ‘ 𝑅 ) ∈ Top )
6 4 5 syl ⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( ordTop ‘ 𝑅 ) ∈ Top )
7 1 ordtopn1 ⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥 𝑅 𝐴 } ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) )
8 7 3adant3 ⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥 𝑅 𝐴 } ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) )
9 1 ordtopn2 ⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵 𝑅 𝑥 } ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) )
10 9 3adant2 ⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵 𝑅 𝑥 } ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) )
11 inopn ⊢ ( ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ∈ Top ∧ { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥 𝑅 𝐴 } ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) ∧ { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵 𝑅 𝑥 } ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) ) → ( { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥 𝑅 𝐴 } ∩ { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵 𝑅 𝑥 } ) ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) )
12 6 8 10 11 syl3anc ⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑥 𝑅 𝐴 } ∩ { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝐵 𝑅 𝑥 } ) ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) )
13 2 12 eqeltrrid ⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → { 𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ( ¬ 𝑥 𝑅 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 𝑅 𝑥 ) } ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) )