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Theorem ordtopn3

Description: An open interval ( A , B ) is open. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015)

Ref Expression
Hypothesis ordttopon.3 
|- X = dom R
Assertion ordtopn3 
|- ( ( R e. V /\ A e. X /\ B e. X ) -> { x e. X | ( -. x R A /\ -. B R x ) } e. ( ordTop ` R ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ordttopon.3 
 |-  X = dom R
2 inrab 
 |-  ( { x e. X | -. x R A } i^i { x e. X | -. B R x } ) = { x e. X | ( -. x R A /\ -. B R x ) }
3 1 ordttopon 
 |-  ( R e. V -> ( ordTop ` R ) e. ( TopOn ` X ) )
4 3 3ad2ant1 
 |-  ( ( R e. V /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ordTop ` R ) e. ( TopOn ` X ) )
5 topontop 
 |-  ( ( ordTop ` R ) e. ( TopOn ` X ) -> ( ordTop ` R ) e. Top )
6 4 5 syl 
 |-  ( ( R e. V /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ordTop ` R ) e. Top )
7 1 ordtopn1 
 |-  ( ( R e. V /\ A e. X ) -> { x e. X | -. x R A } e. ( ordTop ` R ) )
8 7 3adant3 
 |-  ( ( R e. V /\ A e. X /\ B e. X ) -> { x e. X | -. x R A } e. ( ordTop ` R ) )
9 1 ordtopn2 
 |-  ( ( R e. V /\ B e. X ) -> { x e. X | -. B R x } e. ( ordTop ` R ) )
10 9 3adant2 
 |-  ( ( R e. V /\ A e. X /\ B e. X ) -> { x e. X | -. B R x } e. ( ordTop ` R ) )
11 inopn 
 |-  ( ( ( ordTop ` R ) e. Top /\ { x e. X | -. x R A } e. ( ordTop ` R ) /\ { x e. X | -. B R x } e. ( ordTop ` R ) ) -> ( { x e. X | -. x R A } i^i { x e. X | -. B R x } ) e. ( ordTop ` R ) )
12 6 8 10 11 syl3anc 
 |-  ( ( R e. V /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( { x e. X | -. x R A } i^i { x e. X | -. B R x } ) e. ( ordTop ` R ) )
13 2 12 eqeltrrid 
 |-  ( ( R e. V /\ A e. X /\ B e. X ) -> { x e. X | ( -. x R A /\ -. B R x ) } e. ( ordTop ` R ) )