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Theorem mdettpos

Description: Determinant is invariant under transposition. Proposition 4.8 in Lang p. 514. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018)

Ref Expression
Hypotheses mdettpos.d ⊢ 𝐷 = ( 𝑁 maDet 𝑅 )
mdettpos.a ⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 )
mdettpos.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 )
Assertion mdettpos ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐷 ‘ tpos 𝑀 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑀 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mdettpos.d ⊢ 𝐷 = ( 𝑁 maDet 𝑅 )
2 mdettpos.a ⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 )
3 mdettpos.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 )
4 ovtpos ⊢ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) tpos 𝑀 𝑥 ) = ( 𝑥 𝑀 ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) )
5 4 mpteq2i ⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) tpos 𝑀 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑥 𝑀 ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) ) )
6 5 oveq2i ⊢ ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) tpos 𝑀 𝑥 ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑥 𝑀 ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) ) ) )
7 6 oveq2i ⊢ ( ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) tpos 𝑀 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑥 𝑀 ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
8 7 mpteq2i ⊢ ( 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ↦ ( ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) tpos 𝑀 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ↦ ( ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑥 𝑀 ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
9 8 oveq2i ⊢ ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ↦ ( ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) tpos 𝑀 𝑥 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ↦ ( ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑥 𝑀 ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
10 2 3 mattposcl ⊢ ( 𝑀 ∈ 𝐵 → tpos 𝑀 ∈ 𝐵 )
11 10 adantl ⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → tpos 𝑀 ∈ 𝐵 )
12 eqid ⊢ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) = ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) )
13 eqid ⊢ ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) = ( ℤRHom ‘ 𝑅 )
14 eqid ⊢ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) = ( pmSgn ‘ 𝑁 )
15 eqid ⊢ ( .r ‘ 𝑅 ) = ( .r ‘ 𝑅 )
16 eqid ⊢ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) = ( mulGrp ‘ 𝑅 )
17 1 2 3 12 13 14 15 16 mdetleib ⊢ ( tpos 𝑀 ∈ 𝐵 → ( 𝐷 ‘ tpos 𝑀 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ↦ ( ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) tpos 𝑀 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
18 11 17 syl ⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐷 ‘ tpos 𝑀 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ↦ ( ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) tpos 𝑀 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
19 1 2 3 12 13 14 15 16 mdetleib2 ⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑀 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ↦ ( ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑥 𝑀 ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) )
20 9 18 19 3eqtr4a ⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐷 ‘ tpos 𝑀 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑀 ) )