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Theorem kmlem14

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 5 <=> 4. (Contributed by NM, 4-Apr-2004)

Ref Expression
Hypotheses kmlem14.1 ⊢ ( 𝜑 ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑣 ) ) )
kmlem14.2 ⊢ ( 𝜓 ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑥 → ( ( 𝑣 ∈ 𝑧 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑢 ∈ 𝑧 ∧ 𝑢 ∈ 𝑦 ) → 𝑢 = 𝑣 ) ) ) )
kmlem14.3 ⊢ ( 𝜒 ↔ ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 ∃! 𝑣 𝑣 ∈ ( 𝑧 ∩ 𝑦 ) )
Assertion kmlem14 ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑥 ∀ 𝑣 ∈ 𝑧 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑧 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 kmlem14.1 ⊢ ( 𝜑 ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑣 ) ) )
2 kmlem14.2 ⊢ ( 𝜓 ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑥 → ( ( 𝑣 ∈ 𝑧 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑢 ∈ 𝑧 ∧ 𝑢 ∈ 𝑦 ) → 𝑢 = 𝑣 ) ) ) )
3 kmlem14.3 ⊢ ( 𝜒 ↔ ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 ∃! 𝑣 𝑣 ∈ ( 𝑧 ∩ 𝑦 ) )
4 neeq1 ⊢ ( 𝑧 = 𝑦 → ( 𝑧 ≠ 𝑤 ↔ 𝑦 ≠ 𝑤 ) )
5 ineq1 ⊢ ( 𝑧 = 𝑦 → ( 𝑧 ∩ 𝑤 ) = ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) )
6 5 eleq2d ⊢ ( 𝑧 = 𝑦 → ( 𝑣 ∈ ( 𝑧 ∩ 𝑤 ) ↔ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) )
7 4 6 anbi12d ⊢ ( 𝑧 = 𝑦 → ( ( 𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑧 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) )
8 7 rexbidv ⊢ ( 𝑧 = 𝑦 → ( ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑧 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) )
9 8 raleqbi1dv ⊢ ( 𝑧 = 𝑦 → ( ∀ 𝑣 ∈ 𝑧 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑧 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ∀ 𝑣 ∈ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) )
10 9 cbvrexvw ⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑥 ∀ 𝑣 ∈ 𝑧 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑧 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝑥 ∀ 𝑣 ∈ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) )
11 df-rex ⊢ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝑥 ∀ 𝑣 ∈ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) )
12 eleq1w ⊢ ( 𝑣 = 𝑧 → ( 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ↔ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) )
13 12 anbi2d ⊢ ( 𝑣 = 𝑧 → ( ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) )
14 13 rexbidv ⊢ ( 𝑣 = 𝑧 → ( ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) )
15 14 cbvralvw ⊢ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) )
16 df-ral ⊢ ( ∀ 𝑧 ∈ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ∀ 𝑧 ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) )
17 15 16 bitri ⊢ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ∀ 𝑧 ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) )
18 17 anbi2i ⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀ 𝑧 ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ) )
19 19.28v ⊢ ( ∀ 𝑧 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀ 𝑧 ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ) )
20 neeq2 ⊢ ( 𝑤 = 𝑣 → ( 𝑦 ≠ 𝑤 ↔ 𝑦 ≠ 𝑣 ) )
21 ineq2 ⊢ ( 𝑤 = 𝑣 → ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) = ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) )
22 21 eleq2d ⊢ ( 𝑤 = 𝑣 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ↔ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) )
23 20 22 anbi12d ⊢ ( 𝑤 = 𝑣 → ( ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) )
24 23 cbvrexvw ⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) )
25 df-rex ⊢ ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ↔ ∃ 𝑣 ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) )
26 24 25 bitri ⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ∃ 𝑣 ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) )
27 26 imbi2i ⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ∃ 𝑣 ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) )
28 19.37v ⊢ ( ∃ 𝑣 ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ∃ 𝑣 ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) )
29 27 28 bitr4i ⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ↔ ∃ 𝑣 ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) )
30 29 anbi2i ⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∃ 𝑣 ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) ) )
31 19.42v ⊢ ( ∃ 𝑣 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∃ 𝑣 ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) ) )
32 19.3v ⊢ ( ∀ 𝑢 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑 ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑 ) )
33 elin ⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑣 ) )
34 33 baibr ⊢ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( 𝑧 ∈ 𝑣 ↔ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) )
35 34 anbi2d ⊢ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( ( ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑣 ) ↔ ( ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) )
36 anass ⊢ ( ( ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ↔ ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) )
37 35 36 bitrdi ⊢ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( ( ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑣 ) ↔ ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) )
38 37 pm5.74i ⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑣 ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) )
39 1 38 bitri ⊢ ( 𝜑 ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) )
40 39 anbi2i ⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑 ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) ) )
41 32 40 bitr2i ⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑢 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑 ) )
42 41 exbii ⊢ ( ∃ 𝑣 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑 ) )
43 30 31 42 3bitr2i ⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑 ) )
44 43 albii ⊢ ( ∀ 𝑧 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑 ) )
45 18 19 44 3bitr2i ⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑 ) )
46 45 exbii ⊢ ( ∃ 𝑦 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑 ) )
47 10 11 46 3bitri ⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑥 ∀ 𝑣 ∈ 𝑧 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑧 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑 ) )