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Theorem cdlemg27b

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Ref Expression
Hypotheses cdlemg12.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemg12.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemg12.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemg12.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemg12.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemg12.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg12b.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg31.n ⊢ 𝑁 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
Assertion cdlemg27b ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ¬ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑧 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg12.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdlemg12.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdlemg12.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdlemg12.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdlemg12.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdlemg12.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7 cdlemg12b.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemg31.n ⊢ 𝑁 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
9 simp11 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
10 simp12 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
11 simp13 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) )
12 simp22 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) )
13 simp23l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
14 simp31 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
15 1 2 3 4 5 6 7 8 cdlemg31b0a ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
16 9 10 11 12 13 14 15 syl132anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
17 simp23r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑧 ≠ 𝑁 )
18 17 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → 𝑧 ≠ 𝑁 )
19 simp11l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
20 19 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ HL )
21 hlatl ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat )
22 20 21 syl ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ AtLat )
23 simpl21 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ 𝐴 )
24 simpr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ) → 𝑁 ∈ 𝐴 )
25 1 4 atcmp ⊢ ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑧 ≤ 𝑁 ↔ 𝑧 = 𝑁 ) )
26 22 23 24 25 syl3anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑧 ≤ 𝑁 ↔ 𝑧 = 𝑁 ) )
27 26 necon3bbid ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑁 ↔ 𝑧 ≠ 𝑁 ) )
28 19 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
29 28 21 syl ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ AtLat )
30 simpl21 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → 𝑧 ∈ 𝐴 )
31 eqid ⊢ ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 )
32 1 31 4 atnle0 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ¬ 𝑧 ≤ ( 0. ‘ 𝐾 ) )
33 29 30 32 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → ¬ 𝑧 ≤ ( 0. ‘ 𝐾 ) )
34 simpr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
35 34 breq2d ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑧 ≤ 𝑁 ↔ 𝑧 ≤ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
36 33 35 mtbird ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → ¬ 𝑧 ≤ 𝑁 )
37 17 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → 𝑧 ≠ 𝑁 )
38 36 37 2thd ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑁 ↔ 𝑧 ≠ 𝑁 ) )
39 27 38 jaodan ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑁 ↔ 𝑧 ≠ 𝑁 ) )
40 18 39 mpbird ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → ¬ 𝑧 ≤ 𝑁 )
41 16 40 mpdan ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ¬ 𝑧 ≤ 𝑁 )
42 simp32 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) )
43 19 hllatd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
44 simp21 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑧 ∈ 𝐴 )
45 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
46 45 4 atbase ⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
47 44 46 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
48 simp12l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
49 simp22l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑣 ∈ 𝐴 )
50 45 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
51 19 48 49 50 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
52 simp13l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
53 simp33 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 )
54 1 4 5 6 7 trlat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐴 )
55 9 10 13 53 54 syl112anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐴 )
56 45 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
57 19 52 55 56 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
58 45 1 3 latlem12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ↔ 𝑧 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) )
59 43 47 51 57 58 syl13anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( ( 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ↔ 𝑧 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) )
60 8 breq2i ⊢ ( 𝑧 ≤ 𝑁 ↔ 𝑧 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) )
61 59 60 bitr4di ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( ( 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ↔ 𝑧 ≤ 𝑁 ) )
62 61 biimpd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( ( 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → 𝑧 ≤ 𝑁 ) )
63 42 62 mpand ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑧 ≤ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) → 𝑧 ≤ 𝑁 ) )
64 41 63 mtod ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ¬ 𝑧 ≤ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
65 1 5 6 7 trlle ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ 𝑊 )
66 9 13 65 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ 𝑊 )
67 simp13r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 )
68 nbrne2 ⊢ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ 𝑄 )
69 66 67 68 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ 𝑄 )
70 1 2 4 hlatexch1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ 𝑄 ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑧 ) → 𝑧 ≤ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) )
71 19 55 44 52 69 70 syl131anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑧 ) → 𝑧 ≤ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) )
72 64 71 mtod ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ¬ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑧 ) )