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Theorem cdlemefrs32fva

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Value of F at an atom not under W . TODO: FIX COMMENT. TODO: consolidate uses of lhpmat here and elsewhere, and presence/absence of s .<_ ( P .\/ Q ) term. Also, why can proof be shortened with cdleme29cl ? What is difference from cdlemefs27cl ? (Contributed by NM, 29-Mar-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemefrs27.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemefrs27.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemefrs27.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemefrs27.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemefrs27.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemefrs27.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemefrs27.eq ⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → ( 𝜑 ↔ 𝜓 ) )
cdlemefrs27.nb ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ) ) → 𝑁 ∈ 𝐵 )
cdlemefrs27.rnb ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ∈ 𝐵 )
cdleme29frs.o ⊢ 𝑂 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑥 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑥 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑥 ∧ 𝑊 ) ) ) )
Assertion cdlemefrs32fva ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ⦋ 𝑅 / 𝑥 ⦌ 𝑂 = ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemefrs27.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemefrs27.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemefrs27.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemefrs27.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemefrs27.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemefrs27.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemefrs27.eq ⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → ( 𝜑 ↔ 𝜓 ) )
8 cdlemefrs27.nb ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ) ) → 𝑁 ∈ 𝐵 )
9 cdlemefrs27.rnb ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ∈ 𝐵 )
10 cdleme29frs.o ⊢ 𝑂 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑥 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑥 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑥 ∧ 𝑊 ) ) ) )
11 simp2rl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
12 1 5 atbase ⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ 𝐵 )
13 eqid ⊢ ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) )
14 10 13 cdleme31so ⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐵 → ⦋ 𝑅 / 𝑥 ⦌ 𝑂 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ) )
15 11 12 14 3syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ⦋ 𝑅 / 𝑥 ⦌ 𝑂 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ) )
16 ssidd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → 𝐵 ⊆ 𝐵 )
17 simpll ⊢ ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 )
18 simpr ⊢ ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 )
19 17 18 jca ⊢ ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) )
20 19 imim1i ⊢ ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) → ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) )
21 20 ralimi ⊢ ( ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) → ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) )
22 21 rgenw ⊢ ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) → ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) )
23 22 a1i ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) → ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ) )
24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cdlemefrs29bpre1 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) )
25 simpl11 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
26 simpl2r ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) )
27 simpl3 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) → 𝜓 )
28 simpr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) → 𝑠 ∈ 𝐴 )
29 1 2 3 4 5 6 7 cdlemefrs29pre00 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) → ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) ↔ ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) ) )
30 25 26 27 28 29 syl31anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) → ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) ↔ ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) ) )
31 30 imbi1d ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) → ( ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ↔ ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ) )
32 31 ralbidva ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ( ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ↔ ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ) )
33 32 rexbidv ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ) )
34 24 33 mpbid ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) )
35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cdlemefrs29cpre1 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ∃! 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) )
36 riotass2 ⊢ ( ( ( 𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) → ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ) ) ∧ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ∧ ∃! 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ) ) → ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ) )
37 16 23 34 35 36 syl22anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ) )
38 1 2 3 4 5 6 7 8 cdlemefrs29bpre0 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ( ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ↔ 𝑧 = ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ) )
39 38 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ↔ 𝑧 = ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ) )
40 9 39 riota5 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ) = ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 )
41 15 37 40 3eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ⦋ 𝑅 / 𝑥 ⦌ 𝑂 = ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 )