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Theorem cdlemefrs29pre00

Description: ***START OF VALUE AT ATOM STUFF TO REPLACE ONES BELOW*** FIX COMMENT. TODO: see if this is the optimal utility theorem using lhpmat . (Contributed by NM, 29-Mar-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemefrs29.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemefrs29.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemefrs29.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemefrs29.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemefrs29.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemefrs29.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemefrs29.eq ⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → ( 𝜑 ↔ 𝜓 ) )
Assertion cdlemefrs29pre00 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) → ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) ↔ ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemefrs29.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemefrs29.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemefrs29.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemefrs29.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemefrs29.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemefrs29.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemefrs29.eq ⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → ( 𝜑 ↔ 𝜓 ) )
8 anass ⊢ ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) ↔ ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) ) )
9 simpl3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) → 𝜓 )
10 7 pm5.32ri ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 = 𝑅 ) ↔ ( 𝜓 ∧ 𝑠 = 𝑅 ) )
11 10 baibr ⊢ ( 𝜓 → ( 𝑠 = 𝑅 ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑠 = 𝑅 ) ) )
12 9 11 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑠 = 𝑅 ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑠 = 𝑅 ) ) )
13 eqid ⊢ ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 )
14 2 4 13 5 6 lhpmat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
15 14 3adant3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) → ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
16 15 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
17 16 oveq2d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = ( 𝑠 ∨ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
18 simpl1l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ HL )
19 hlol ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL )
20 18 19 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ OL )
21 1 5 atbase ⊢ ( 𝑠 ∈ 𝐴 → 𝑠 ∈ 𝐵 )
22 21 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) → 𝑠 ∈ 𝐵 )
23 1 3 13 olj01 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑠 ∨ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) = 𝑠 )
24 20 22 23 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑠 ∨ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) = 𝑠 )
25 17 24 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑠 )
26 25 eqeq1d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ↔ 𝑠 = 𝑅 ) )
27 26 anbi2d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑠 = 𝑅 ) ) )
28 12 26 27 3bitr4d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) ) )
29 28 anbi2d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) → ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) ↔ ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) ) ) )
30 8 29 bitr4id ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴 ) → ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) ↔ ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) ) )