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Theorem cdlemefrs32fva1

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 29-Mar-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemefrs27.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemefrs27.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemefrs27.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemefrs27.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemefrs27.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemefrs27.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemefrs27.eq ⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → ( 𝜑 ↔ 𝜓 ) )
cdlemefrs27.nb ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ) ) → 𝑁 ∈ 𝐵 )
cdlemefrs27.rnb ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ∈ 𝐵 )
cdleme29frs.o ⊢ 𝑂 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑥 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑥 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑥 ∧ 𝑊 ) ) ) )
cdleme29frs.f ⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊 ) , 𝑂 , 𝑥 ) )
Assertion cdlemefrs32fva1 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑅 ) = ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemefrs27.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemefrs27.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemefrs27.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemefrs27.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemefrs27.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemefrs27.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemefrs27.eq ⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → ( 𝜑 ↔ 𝜓 ) )
8 cdlemefrs27.nb ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ) ) → 𝑁 ∈ 𝐵 )
9 cdlemefrs27.rnb ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ∈ 𝐵 )
10 cdleme29frs.o ⊢ 𝑂 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑥 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑥 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑥 ∧ 𝑊 ) ) ) )
11 cdleme29frs.f ⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊 ) , 𝑂 , 𝑥 ) )
12 simp2rl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
13 1 5 atbase ⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ 𝐵 )
14 12 13 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → 𝑅 ∈ 𝐵 )
15 simp2l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → 𝑃 ≠ 𝑄 )
16 simp2rr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 )
17 10 11 cdleme31fv1s ⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑅 ) = ⦋ 𝑅 / 𝑥 ⦌ 𝑂 )
18 14 15 16 17 syl12anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑅 ) = ⦋ 𝑅 / 𝑥 ⦌ 𝑂 )
19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 cdlemefrs32fva ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ⦋ 𝑅 / 𝑥 ⦌ 𝑂 = ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 )
20 18 19 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑅 ) = ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 )