This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem 2atm

Description: An atom majorized by two different atom joins (which could be atoms or lines) is equal to their intersection. (Contributed by NM, 30-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses 2atm.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2atm.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
2atm.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
2atm.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion 2atm ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑇 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 2atm.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 2atm.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 2atm.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 2atm.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 simp31 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
6 simp32 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) )
7 simp11 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
8 7 hllatd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
9 simp23 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑇 ∈ 𝐴 )
10 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
11 10 4 atbase ⊢ ( 𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
12 9 11 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
13 simp12 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
14 10 4 atbase ⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
15 13 14 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16 simp13 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
17 10 4 atbase ⊢ ( 𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
18 16 17 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19 10 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
20 8 15 18 19 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
21 simp21 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
22 simp22 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
23 10 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
24 7 21 22 23 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
25 10 1 3 latlem12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ↔ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) )
26 8 12 20 24 25 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ↔ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) )
27 5 6 26 mpbi2and ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) )
28 hlatl ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat )
29 7 28 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝐾 ∈ AtLat )
30 10 3 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
31 8 20 24 30 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
32 eqid ⊢ ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 )
33 10 1 32 4 atlen0 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) )
34 29 31 9 27 33 syl31anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) )
35 34 neneqd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
36 simp33 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) )
37 2 3 32 4 2atmat0 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
38 7 13 16 21 22 36 37 syl33anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
39 38 ord ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
40 35 39 mt3d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 )
41 1 4 atcmp ⊢ ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ↔ 𝑇 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) )
42 29 9 40 41 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ↔ 𝑇 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) )
43 27 42 mpbid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑇 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) )