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Theorem uvcff

Description: Domain and codomain of the unit vector generator; ring condition required to be sure 1 and 0 are actually in the ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019)

Ref Expression
Hypotheses uvcff.u 
|- U = ( R unitVec I )
uvcff.y 
|- Y = ( R freeLMod I )
uvcff.b 
|- B = ( Base ` Y )
Assertion uvcff 
|- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> U : I --> B )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 uvcff.u 
 |-  U = ( R unitVec I )
2 uvcff.y 
 |-  Y = ( R freeLMod I )
3 uvcff.b 
 |-  B = ( Base ` Y )
4 eqid 
 |-  ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
5 eqid 
 |-  ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6 1 4 5 uvcfval 
 |-  ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> U = ( i e. I |-> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
7 eqid 
 |-  ( Base ` R ) = ( Base ` R )
8 7 4 ringidcl 
 |-  ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
9 7 5 ring0cl 
 |-  ( R e. Ring -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
10 8 9 ifcld 
 |-  ( R e. Ring -> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. ( Base ` R ) )
11 10 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) /\ j e. I ) -> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. ( Base ` R ) )
12 11 fmpttd 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) : I --> ( Base ` R ) )
13 fvex 
 |-  ( Base ` R ) e. _V
14 elmapg 
 |-  ( ( ( Base ` R ) e. _V /\ I e. W ) -> ( ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m I ) <-> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) : I --> ( Base ` R ) ) )
15 13 14 mpan 
 |-  ( I e. W -> ( ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m I ) <-> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) : I --> ( Base ` R ) ) )
16 15 ad2antlr 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> ( ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m I ) <-> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) : I --> ( Base ` R ) ) )
17 12 16 mpbird 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m I ) )
18 mptexg 
 |-  ( I e. W -> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. _V )
19 18 ad2antlr 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. _V )
20 funmpt 
 |-  Fun ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) )
21 20 a1i 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> Fun ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) )
22 fvex 
 |-  ( 0g ` R ) e. _V
23 22 a1i 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
24 snfi 
 |-  { i } e. Fin
25 24 a1i 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> { i } e. Fin )
26 eldifsni 
 |-  ( j e. ( I \ { i } ) -> j =/= i )
27 26 adantl 
 |-  ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) /\ j e. ( I \ { i } ) ) -> j =/= i )
28 27 neneqd 
 |-  ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) /\ j e. ( I \ { i } ) ) -> -. j = i )
29 28 iffalsed 
 |-  ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) /\ j e. ( I \ { i } ) ) -> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
30 simplr 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> I e. W )
31 29 30 suppss2 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> ( ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ { i } )
32 suppssfifsupp 
 |-  ( ( ( ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) /\ ( 0g ` R ) e. _V ) /\ ( { i } e. Fin /\ ( ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ { i } ) ) -> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
33 19 21 23 25 31 32 syl32anc 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
34 2 7 5 3 frlmelbas 
 |-  ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> ( ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. B <-> ( ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m I ) /\ ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) ) ) )
35 34 adantr 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> ( ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. B <-> ( ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m I ) /\ ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) ) ) )
36 17 33 35 mpbir2and 
 |-  ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> ( j e. I |-> if ( j = i , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. B )
37 6 36 fmpt3d 
 |-  ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> U : I --> B )