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Theorem seqcaopr2

Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014)

Ref Expression
Hypotheses seqcaopr2.1 
|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqcaopr2.2 
|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
seqcaopr2.3 
|- ( ( ph /\ ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
seqcaopr2.4 
|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqcaopr2.5 
|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. S )
seqcaopr2.6 
|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` k ) e. S )
seqcaopr2.7 
|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
Assertion seqcaopr2 
|- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 seqcaopr2.1 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
2 seqcaopr2.2 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
3 seqcaopr2.3 
 |-  ( ( ph /\ ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
4 seqcaopr2.4 
 |-  ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5 seqcaopr2.5 
 |-  ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. S )
6 seqcaopr2.6 
 |-  ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` k ) e. S )
7 seqcaopr2.7 
 |-  ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
8 elfzouz 
 |-  ( n e. ( M ..^ N ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
9 8 adantl 
 |-  ( ( ph /\ n e. ( M ..^ N ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
10 elfzouz2 
 |-  ( n e. ( M ..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` n ) )
11 10 adantl 
 |-  ( ( ph /\ n e. ( M ..^ N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` n ) )
12 fzss2 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` n ) -> ( M ... n ) C_ ( M ... N ) )
13 11 12 syl 
 |-  ( ( ph /\ n e. ( M ..^ N ) ) -> ( M ... n ) C_ ( M ... N ) )
14 13 sselda 
 |-  ( ( ( ph /\ n e. ( M ..^ N ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> x e. ( M ... N ) )
15 6 ralrimiva 
 |-  ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( G ` k ) e. S )
16 15 adantr 
 |-  ( ( ph /\ n e. ( M ..^ N ) ) -> A. k e. ( M ... N ) ( G ` k ) e. S )
17 fveq2 
 |-  ( k = x -> ( G ` k ) = ( G ` x ) )
18 17 eleq1d 
 |-  ( k = x -> ( ( G ` k ) e. S <-> ( G ` x ) e. S ) )
19 18 rspccva 
 |-  ( ( A. k e. ( M ... N ) ( G ` k ) e. S /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( G ` x ) e. S )
20 16 19 sylan 
 |-  ( ( ( ph /\ n e. ( M ..^ N ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( G ` x ) e. S )
21 14 20 syldan 
 |-  ( ( ( ph /\ n e. ( M ..^ N ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> ( G ` x ) e. S )
22 1 adantlr 
 |-  ( ( ( ph /\ n e. ( M ..^ N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
23 9 21 22 seqcl 
 |-  ( ( ph /\ n e. ( M ..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` n ) e. S )
24 fzofzp1 
 |-  ( n e. ( M ..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
25 fveq2 
 |-  ( k = ( n + 1 ) -> ( G ` k ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
26 25 eleq1d 
 |-  ( k = ( n + 1 ) -> ( ( G ` k ) e. S <-> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
27 26 rspccva 
 |-  ( ( A. k e. ( M ... N ) ( G ` k ) e. S /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S )
28 15 24 27 syl2an 
 |-  ( ( ph /\ n e. ( M ..^ N ) ) -> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S )
29 5 ralrimiva 
 |-  ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. S )
30 fveq2 
 |-  ( k = x -> ( F ` k ) = ( F ` x ) )
31 30 eleq1d 
 |-  ( k = x -> ( ( F ` k ) e. S <-> ( F ` x ) e. S ) )
32 31 rspccva 
 |-  ( ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. S /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
33 29 32 sylan 
 |-  ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
34 33 adantlr 
 |-  ( ( ( ph /\ n e. ( M ..^ N ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
35 14 34 syldan 
 |-  ( ( ( ph /\ n e. ( M ..^ N ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> ( F ` x ) e. S )
36 9 35 22 seqcl 
 |-  ( ( ph /\ n e. ( M ..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) e. S )
37 fveq2 
 |-  ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
38 37 eleq1d 
 |-  ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. S <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
39 38 rspccva 
 |-  ( ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. S /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
40 29 24 39 syl2an 
 |-  ( ( ph /\ n e. ( M ..^ N ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
41 3 anassrs 
 |-  ( ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
42 41 ralrimivva 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
43 42 ralrimivva 
 |-  ( ph -> A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
44 43 adantr 
 |-  ( ( ph /\ n e. ( M ..^ N ) ) -> A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
45 oveq1 
 |-  ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( x Q z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) )
46 45 oveq1d 
 |-  ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) )
47 oveq1 
 |-  ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( x .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) )
48 47 oveq1d 
 |-  ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
49 46 48 eqeq12d 
 |-  ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) ) )
50 49 2ralbidv 
 |-  ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) ) )
51 oveq1 
 |-  ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( y Q w ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) )
52 51 oveq2d 
 |-  ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) )
53 oveq2 
 |-  ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
54 53 oveq1d 
 |-  ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) )
55 52 54 eqeq12d 
 |-  ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) ) )
56 55 2ralbidv 
 |-  ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) ) )
57 50 56 rspc2va 
 |-  ( ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) e. S /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) ) -> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) )
58 36 40 44 57 syl21anc 
 |-  ( ( ph /\ n e. ( M ..^ N ) ) -> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) )
59 oveq2 
 |-  ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) )
60 59 oveq1d 
 |-  ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) )
61 oveq1 
 |-  ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( z .+ w ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) )
62 61 oveq2d 
 |-  ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) ) )
63 60 62 eqeq12d 
 |-  ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) ) ) )
64 oveq2 
 |-  ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
65 64 oveq2d 
 |-  ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
66 oveq2 
 |-  ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
67 66 oveq2d 
 |-  ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
68 65 67 eqeq12d 
 |-  ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
69 63 68 rspc2va 
 |-  ( ( ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) e. S /\ ( G ` ( n + 1 ) ) e. S ) /\ A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
70 23 28 58 69 syl21anc 
 |-  ( ( ph /\ n e. ( M ..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
71 1 2 4 5 6 7 70 seqcaopr3 
 |-  ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )