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Theorem o1of2

Description: Show that a binary operation preserves eventual boundedness. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014)

Ref Expression
Hypotheses o1of2.1 
|- ( ( m e. RR /\ n e. RR ) -> M e. RR )
o1of2.2 
|- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x R y ) e. CC )
o1of2.3 
|- ( ( ( m e. RR /\ n e. RR ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) )
Assertion o1of2 
|- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 o1of2.1 
 |-  ( ( m e. RR /\ n e. RR ) -> M e. RR )
2 o1of2.2 
 |-  ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x R y ) e. CC )
3 o1of2.3 
 |-  ( ( ( m e. RR /\ n e. RR ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) )
4 o1f 
 |-  ( F e. O(1) -> F : dom F --> CC )
5 o1bdd 
 |-  ( ( F e. O(1) /\ F : dom F --> CC ) -> E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) )
6 4 5 mpdan 
 |-  ( F e. O(1) -> E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) )
7 6 adantr 
 |-  ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) )
8 o1f 
 |-  ( G e. O(1) -> G : dom G --> CC )
9 o1bdd 
 |-  ( ( G e. O(1) /\ G : dom G --> CC ) -> E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) )
10 8 9 mpdan 
 |-  ( G e. O(1) -> E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) )
11 10 adantl 
 |-  ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) )
12 reeanv 
 |-  ( E. a e. RR E. b e. RR ( E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) <-> ( E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
13 reeanv 
 |-  ( E. m e. RR E. n e. RR ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) <-> ( E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
14 inss1 
 |-  ( dom F i^i dom G ) C_ dom F
15 ssralv 
 |-  ( ( dom F i^i dom G ) C_ dom F -> ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) ) )
16 14 15 ax-mp 
 |-  ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) )
17 inss2 
 |-  ( dom F i^i dom G ) C_ dom G
18 ssralv 
 |-  ( ( dom F i^i dom G ) C_ dom G -> ( A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
19 17 18 ax-mp 
 |-  ( A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) )
20 16 19 anim12i 
 |-  ( ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
21 r19.26 
 |-  ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) <-> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
22 20 21 sylibr 
 |-  ( ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
23 anim12 
 |-  ( ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( ( a <_ z /\ b <_ z ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
24 simplrl 
 |-  ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> a e. RR )
25 24 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> a e. RR )
26 simplrr 
 |-  ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> b e. RR )
27 26 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> b e. RR )
28 o1dm 
 |-  ( F e. O(1) -> dom F C_ RR )
29 28 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> dom F C_ RR )
30 14 29 sstrid 
 |-  ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( dom F i^i dom G ) C_ RR )
31 30 sselda 
 |-  ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> z e. RR )
32 maxle 
 |-  ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ z e. RR ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z <-> ( a <_ z /\ b <_ z ) ) )
33 25 27 31 32 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z <-> ( a <_ z /\ b <_ z ) ) )
34 33 biimpd 
 |-  ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( a <_ z /\ b <_ z ) ) )
35 4 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> F : dom F --> CC )
36 14 sseli 
 |-  ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> z e. dom F )
37 ffvelcdm 
 |-  ( ( F : dom F --> CC /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) e. CC )
38 35 36 37 syl2an 
 |-  ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
39 8 ad3antlr 
 |-  ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> G : dom G --> CC )
40 17 sseli 
 |-  ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> z e. dom G )
41 ffvelcdm 
 |-  ( ( G : dom G --> CC /\ z e. dom G ) -> ( G ` z ) e. CC )
42 39 40 41 syl2an 
 |-  ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
43 3 ralrimivva 
 |-  ( ( m e. RR /\ n e. RR ) -> A. x e. CC A. y e. CC ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) )
44 43 ad2antlr 
 |-  ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> A. x e. CC A. y e. CC ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) )
45 fveq2 
 |-  ( x = ( F ` z ) -> ( abs ` x ) = ( abs ` ( F ` z ) ) )
46 45 breq1d 
 |-  ( x = ( F ` z ) -> ( ( abs ` x ) <_ m <-> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) )
47 46 anbi1d 
 |-  ( x = ( F ` z ) -> ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) <-> ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) ) )
48 fvoveq1 
 |-  ( x = ( F ` z ) -> ( abs ` ( x R y ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) )
49 48 breq1d 
 |-  ( x = ( F ` z ) -> ( ( abs ` ( x R y ) ) <_ M <-> ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) <_ M ) )
50 47 49 imbi12d 
 |-  ( x = ( F ` z ) -> ( ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) <-> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) <_ M ) ) )
51 fveq2 
 |-  ( y = ( G ` z ) -> ( abs ` y ) = ( abs ` ( G ` z ) ) )
52 51 breq1d 
 |-  ( y = ( G ` z ) -> ( ( abs ` y ) <_ n <-> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) )
53 52 anbi2d 
 |-  ( y = ( G ` z ) -> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) <-> ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
54 oveq2 
 |-  ( y = ( G ` z ) -> ( ( F ` z ) R y ) = ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) )
55 54 fveq2d 
 |-  ( y = ( G ` z ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) )
56 55 breq1d 
 |-  ( y = ( G ` z ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) <_ M <-> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) )
57 53 56 imbi12d 
 |-  ( y = ( G ` z ) -> ( ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) <_ M ) <-> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) ) )
58 50 57 rspc2va 
 |-  ( ( ( ( F ` z ) e. CC /\ ( G ` z ) e. CC ) /\ A. x e. CC A. y e. CC ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) )
59 38 42 44 58 syl21anc 
 |-  ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) )
60 35 ffnd 
 |-  ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> F Fn dom F )
61 39 ffnd 
 |-  ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> G Fn dom G )
62 reex 
 |-  RR e. _V
63 ssexg 
 |-  ( ( dom F C_ RR /\ RR e. _V ) -> dom F e. _V )
64 29 62 63 sylancl 
 |-  ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> dom F e. _V )
65 dmexg 
 |-  ( G e. O(1) -> dom G e. _V )
66 65 ad3antlr 
 |-  ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> dom G e. _V )
67 eqid 
 |-  ( dom F i^i dom G ) = ( dom F i^i dom G )
68 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
69 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. dom G ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
70 60 61 64 66 67 68 69 ofval 
 |-  ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( F oF R G ) ` z ) = ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) )
71 70 fveq2d 
 |-  ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) )
72 71 breq1d 
 |-  ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M <-> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) )
73 59 72 sylibrd 
 |-  ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) )
74 34 73 imim12d 
 |-  ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( ( a <_ z /\ b <_ z ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) ) )
75 23 74 syl5 
 |-  ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) ) )
76 75 ralimdva 
 |-  ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) ) )
77 2 adantl 
 |-  ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x R y ) e. CC )
78 77 35 39 64 66 67 off 
 |-  ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( F oF R G ) : ( dom F i^i dom G ) --> CC )
79 26 24 ifcld 
 |-  ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> if ( a <_ b , b , a ) e. RR )
80 1 adantl 
 |-  ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> M e. RR )
81 elo12r 
 |-  ( ( ( ( F oF R G ) : ( dom F i^i dom G ) --> CC /\ ( dom F i^i dom G ) C_ RR ) /\ ( if ( a <_ b , b , a ) e. RR /\ M e. RR ) /\ A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) )
82 81 3expia 
 |-  ( ( ( ( F oF R G ) : ( dom F i^i dom G ) --> CC /\ ( dom F i^i dom G ) C_ RR ) /\ ( if ( a <_ b , b , a ) e. RR /\ M e. RR ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
83 78 30 79 80 82 syl22anc 
 |-  ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
84 76 83 syld 
 |-  ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
85 22 84 syl5 
 |-  ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
86 85 rexlimdvva 
 |-  ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) -> ( E. m e. RR E. n e. RR ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
87 13 86 biimtrrid 
 |-  ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) -> ( ( E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
88 87 rexlimdvva 
 |-  ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> ( E. a e. RR E. b e. RR ( E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
89 12 88 biimtrrid 
 |-  ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> ( ( E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
90 7 11 89 mp2and 
 |-  ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) )