ltexprlem6

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of Gleason p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013) (New usage is discouraged.)

		Ref	Expression
	Hypothesis	ltexprlem.1	\|- C = { x \| E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) }
	Assertion	ltexprlem6	\|- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ A C. B ) -> ( A +P. C ) C_ B )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexprlem.1	\|- C = { x \| E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) }
2	1	ltexprlem5	\|- ( ( B e. P. /\ A C. B ) -> C e. P. )
3		df-plp	\|- +P. = ( z e. P. , y e. P. \|-> { f \| E. g e. z E. h e. y f = ( g +Q h ) } )
4		addclnq	\|- ( ( g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( g +Q h ) e. Q. )
5	3 4	genpelv	\|- ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> ( z e. ( A +P. C ) <-> E. w e. A E. x e. C z = ( w +Q x ) ) )
6	2 5	sylan2	\|- ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ A C. B ) ) -> ( z e. ( A +P. C ) <-> E. w e. A E. x e. C z = ( w +Q x ) ) )
7	1	eqabri	\|- ( x e. C <-> E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) )
8		elprnq	\|- ( ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) -> ( y +Q x ) e. Q. )
9		addnqf	\|- +Q : ( Q. X. Q. ) --> Q.
10	9	fdmi	\|- dom +Q = ( Q. X. Q. )
11		0nnq	\|- -. (/) e. Q.
12	10 11	ndmovrcl	\|- ( ( y +Q x ) e. Q. -> ( y e. Q. /\ x e. Q. ) )
13	12	simpld	\|- ( ( y +Q x ) e. Q. -> y e. Q. )
14	8 13	syl	\|- ( ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) -> y e. Q. )
15		prub	\|- ( ( ( A e. P. /\ w e. A ) /\ y e. Q. ) -> ( -. y e. A -> w
16	14 15	sylan2	\|- ( ( ( A e. P. /\ w e. A ) /\ ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) ) -> ( -. y e. A -> w
17	12	simprd	\|- ( ( y +Q x ) e. Q. -> x e. Q. )
18		vex	\|- w e. _V
19		vex	\|- y e. _V
20		ltanq	\|- ( u e. Q. -> ( z ( u +Q z )
21		vex	\|- x e. _V
22		addcomnq	\|- ( z +Q v ) = ( v +Q z )
23	18 19 20 21 22	caovord2	\|- ( x e. Q. -> ( w ( w +Q x )
24	8 17 23	3syl	\|- ( ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) -> ( w ( w +Q x )
25		prcdnq	\|- ( ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) -> ( ( w +Q x ) ( w +Q x ) e. B ) )
26	24 25	sylbid	\|- ( ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) -> ( w ( w +Q x ) e. B ) )
27	26	adantl	\|- ( ( ( A e. P. /\ w e. A ) /\ ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) ) -> ( w ( w +Q x ) e. B ) )
28	16 27	syld	\|- ( ( ( A e. P. /\ w e. A ) /\ ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) ) -> ( -. y e. A -> ( w +Q x ) e. B ) )
29	28	exp32	\|- ( ( A e. P. /\ w e. A ) -> ( B e. P. -> ( ( y +Q x ) e. B -> ( -. y e. A -> ( w +Q x ) e. B ) ) ) )
30	29	com34	\|- ( ( A e. P. /\ w e. A ) -> ( B e. P. -> ( -. y e. A -> ( ( y +Q x ) e. B -> ( w +Q x ) e. B ) ) ) )
31	30	imp4b	\|- ( ( ( A e. P. /\ w e. A ) /\ B e. P. ) -> ( ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) -> ( w +Q x ) e. B ) )
32	31	exlimdv	\|- ( ( ( A e. P. /\ w e. A ) /\ B e. P. ) -> ( E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) -> ( w +Q x ) e. B ) )
33	7 32	biimtrid	\|- ( ( ( A e. P. /\ w e. A ) /\ B e. P. ) -> ( x e. C -> ( w +Q x ) e. B ) )
34	33	exp31	\|- ( A e. P. -> ( w e. A -> ( B e. P. -> ( x e. C -> ( w +Q x ) e. B ) ) ) )
35	34	com23	\|- ( A e. P. -> ( B e. P. -> ( w e. A -> ( x e. C -> ( w +Q x ) e. B ) ) ) )
36	35	imp43	\|- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( w e. A /\ x e. C ) ) -> ( w +Q x ) e. B )
37		eleq1	\|- ( z = ( w +Q x ) -> ( z e. B <-> ( w +Q x ) e. B ) )
38	37	biimparc	\|- ( ( ( w +Q x ) e. B /\ z = ( w +Q x ) ) -> z e. B )
39	36 38	sylan	\|- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( w e. A /\ x e. C ) ) /\ z = ( w +Q x ) ) -> z e. B )
40	39	exp31	\|- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( ( w e. A /\ x e. C ) -> ( z = ( w +Q x ) -> z e. B ) ) )
41	40	rexlimdvv	\|- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( E. w e. A E. x e. C z = ( w +Q x ) -> z e. B ) )
42	41	adantrr	\|- ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ A C. B ) ) -> ( E. w e. A E. x e. C z = ( w +Q x ) -> z e. B ) )
43	6 42	sylbid	\|- ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ A C. B ) ) -> ( z e. ( A +P. C ) -> z e. B ) )
44	43	ssrdv	\|- ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ A C. B ) ) -> ( A +P. C ) C_ B )
45	44	anassrs	\|- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ A C. B ) -> ( A +P. C ) C_ B )

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Theorem ltexprlem6

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