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Theorem kqt0lem

Description: Lemma for kqt0 . (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015)

Ref Expression
Hypothesis kqval.2 
|- F = ( x e. X |-> { y e. J | x e. y } )
Assertion kqt0lem 
|- ( J e. ( TopOn ` X ) -> ( KQ ` J ) e. Kol2 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 kqval.2 
 |-  F = ( x e. X |-> { y e. J | x e. y } )
2 1 kqopn 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ w e. J ) -> ( F " w ) e. ( KQ ` J ) )
3 2 adantlr 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ w e. J ) -> ( F " w ) e. ( KQ ` J ) )
4 eleq2 
 |-  ( z = ( F " w ) -> ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` a ) e. ( F " w ) ) )
5 eleq2 
 |-  ( z = ( F " w ) -> ( ( F ` b ) e. z <-> ( F ` b ) e. ( F " w ) ) )
6 4 5 bibi12d 
 |-  ( z = ( F " w ) -> ( ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) <-> ( ( F ` a ) e. ( F " w ) <-> ( F ` b ) e. ( F " w ) ) ) )
7 6 rspcv 
 |-  ( ( F " w ) e. ( KQ ` J ) -> ( A. z e. ( KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) -> ( ( F ` a ) e. ( F " w ) <-> ( F ` b ) e. ( F " w ) ) ) )
8 3 7 syl 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ w e. J ) -> ( A. z e. ( KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) -> ( ( F ` a ) e. ( F " w ) <-> ( F ` b ) e. ( F " w ) ) ) )
9 1 kqfvima 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ w e. J /\ a e. X ) -> ( a e. w <-> ( F ` a ) e. ( F " w ) ) )
10 9 3expa 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ w e. J ) /\ a e. X ) -> ( a e. w <-> ( F ` a ) e. ( F " w ) ) )
11 10 adantrr 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ w e. J ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( a e. w <-> ( F ` a ) e. ( F " w ) ) )
12 1 kqfvima 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ w e. J /\ b e. X ) -> ( b e. w <-> ( F ` b ) e. ( F " w ) ) )
13 12 3expa 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ w e. J ) /\ b e. X ) -> ( b e. w <-> ( F ` b ) e. ( F " w ) ) )
14 13 adantrl 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ w e. J ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( b e. w <-> ( F ` b ) e. ( F " w ) ) )
15 11 14 bibi12d 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ w e. J ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( a e. w <-> b e. w ) <-> ( ( F ` a ) e. ( F " w ) <-> ( F ` b ) e. ( F " w ) ) ) )
16 15 an32s 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ w e. J ) -> ( ( a e. w <-> b e. w ) <-> ( ( F ` a ) e. ( F " w ) <-> ( F ` b ) e. ( F " w ) ) ) )
17 8 16 sylibrd 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ w e. J ) -> ( A. z e. ( KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) -> ( a e. w <-> b e. w ) ) )
18 17 ralrimdva 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( A. z e. ( KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) -> A. w e. J ( a e. w <-> b e. w ) ) )
19 1 kqfeq 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ a e. X /\ b e. X ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) <-> A. y e. J ( a e. y <-> b e. y ) ) )
20 19 3expb 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) <-> A. y e. J ( a e. y <-> b e. y ) ) )
21 elequ2 
 |-  ( y = w -> ( a e. y <-> a e. w ) )
22 elequ2 
 |-  ( y = w -> ( b e. y <-> b e. w ) )
23 21 22 bibi12d 
 |-  ( y = w -> ( ( a e. y <-> b e. y ) <-> ( a e. w <-> b e. w ) ) )
24 23 cbvralvw 
 |-  ( A. y e. J ( a e. y <-> b e. y ) <-> A. w e. J ( a e. w <-> b e. w ) )
25 20 24 bitrdi 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) <-> A. w e. J ( a e. w <-> b e. w ) ) )
26 18 25 sylibrd 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( A. z e. ( KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) -> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) )
27 26 ralrimivva 
 |-  ( J e. ( TopOn ` X ) -> A. a e. X A. b e. X ( A. z e. ( KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) -> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) )
28 1 kqffn 
 |-  ( J e. ( TopOn ` X ) -> F Fn X )
29 eleq1 
 |-  ( u = ( F ` a ) -> ( u e. z <-> ( F ` a ) e. z ) )
30 29 bibi1d 
 |-  ( u = ( F ` a ) -> ( ( u e. z <-> v e. z ) <-> ( ( F ` a ) e. z <-> v e. z ) ) )
31 30 ralbidv 
 |-  ( u = ( F ` a ) -> ( A. z e. ( KQ ` J ) ( u e. z <-> v e. z ) <-> A. z e. ( KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> v e. z ) ) )
32 eqeq1 
 |-  ( u = ( F ` a ) -> ( u = v <-> ( F ` a ) = v ) )
33 31 32 imbi12d 
 |-  ( u = ( F ` a ) -> ( ( A. z e. ( KQ ` J ) ( u e. z <-> v e. z ) -> u = v ) <-> ( A. z e. ( KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> v e. z ) -> ( F ` a ) = v ) ) )
34 33 ralbidv 
 |-  ( u = ( F ` a ) -> ( A. v e. ran F ( A. z e. ( KQ ` J ) ( u e. z <-> v e. z ) -> u = v ) <-> A. v e. ran F ( A. z e. ( KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> v e. z ) -> ( F ` a ) = v ) ) )
35 34 ralrn 
 |-  ( F Fn X -> ( A. u e. ran F A. v e. ran F ( A. z e. ( KQ ` J ) ( u e. z <-> v e. z ) -> u = v ) <-> A. a e. X A. v e. ran F ( A. z e. ( KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> v e. z ) -> ( F ` a ) = v ) ) )
36 eleq1 
 |-  ( v = ( F ` b ) -> ( v e. z <-> ( F ` b ) e. z ) )
37 36 bibi2d 
 |-  ( v = ( F ` b ) -> ( ( ( F ` a ) e. z <-> v e. z ) <-> ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) ) )
38 37 ralbidv 
 |-  ( v = ( F ` b ) -> ( A. z e. ( KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> v e. z ) <-> A. z e. ( KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) ) )
39 eqeq2 
 |-  ( v = ( F ` b ) -> ( ( F ` a ) = v <-> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) )
40 38 39 imbi12d 
 |-  ( v = ( F ` b ) -> ( ( A. z e. ( KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> v e. z ) -> ( F ` a ) = v ) <-> ( A. z e. ( KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) -> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) ) )
41 40 ralrn 
 |-  ( F Fn X -> ( A. v e. ran F ( A. z e. ( KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> v e. z ) -> ( F ` a ) = v ) <-> A. b e. X ( A. z e. ( KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) -> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) ) )
42 41 ralbidv 
 |-  ( F Fn X -> ( A. a e. X A. v e. ran F ( A. z e. ( KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> v e. z ) -> ( F ` a ) = v ) <-> A. a e. X A. b e. X ( A. z e. ( KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) -> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) ) )
43 35 42 bitrd 
 |-  ( F Fn X -> ( A. u e. ran F A. v e. ran F ( A. z e. ( KQ ` J ) ( u e. z <-> v e. z ) -> u = v ) <-> A. a e. X A. b e. X ( A. z e. ( KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) -> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) ) )
44 28 43 syl 
 |-  ( J e. ( TopOn ` X ) -> ( A. u e. ran F A. v e. ran F ( A. z e. ( KQ ` J ) ( u e. z <-> v e. z ) -> u = v ) <-> A. a e. X A. b e. X ( A. z e. ( KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) -> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) ) )
45 27 44 mpbird 
 |-  ( J e. ( TopOn ` X ) -> A. u e. ran F A. v e. ran F ( A. z e. ( KQ ` J ) ( u e. z <-> v e. z ) -> u = v ) )
46 1 kqtopon 
 |-  ( J e. ( TopOn ` X ) -> ( KQ ` J ) e. ( TopOn ` ran F ) )
47 ist0-2 
 |-  ( ( KQ ` J ) e. ( TopOn ` ran F ) -> ( ( KQ ` J ) e. Kol2 <-> A. u e. ran F A. v e. ran F ( A. z e. ( KQ ` J ) ( u e. z <-> v e. z ) -> u = v ) ) )
48 46 47 syl 
 |-  ( J e. ( TopOn ` X ) -> ( ( KQ ` J ) e. Kol2 <-> A. u e. ran F A. v e. ran F ( A. z e. ( KQ ` J ) ( u e. z <-> v e. z ) -> u = v ) ) )
49 45 48 mpbird 
 |-  ( J e. ( TopOn ` X ) -> ( KQ ` J ) e. Kol2 )