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Theorem inuni

Description: The intersection of a union U. A with a class B is equal to the union of the intersections of each element of A with B . (Contributed by FL, 24-Mar-2007) (Proof shortened by Wolf Lammen, 15-May-2025)

Ref Expression
Assertion inuni 
|- ( U. A i^i B ) = U. { x | E. y e. A x = ( y i^i B ) }

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ancom 
 |-  ( ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> ( E. y e. A x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
2 r19.41v 
 |-  ( E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> ( E. y e. A x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
3 1 2 bitr4i 
 |-  ( ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
4 3 exbii 
 |-  ( E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> E. x E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
5 eluniab 
 |-  ( z e. U. { x | E. y e. A x = ( y i^i B ) } <-> E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) )
6 eluni2 
 |-  ( z e. U. A <-> E. y e. A z e. y )
7 6 anbi1i 
 |-  ( ( z e. U. A /\ z e. B ) <-> ( E. y e. A z e. y /\ z e. B ) )
8 elin 
 |-  ( z e. ( U. A i^i B ) <-> ( z e. U. A /\ z e. B ) )
9 r19.41v 
 |-  ( E. y e. A ( z e. y /\ z e. B ) <-> ( E. y e. A z e. y /\ z e. B ) )
10 7 8 9 3bitr4i 
 |-  ( z e. ( U. A i^i B ) <-> E. y e. A ( z e. y /\ z e. B ) )
11 vex 
 |-  y e. _V
12 11 inex1 
 |-  ( y i^i B ) e. _V
13 eleq2 
 |-  ( x = ( y i^i B ) -> ( z e. x <-> z e. ( y i^i B ) ) )
14 12 13 ceqsexv 
 |-  ( E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> z e. ( y i^i B ) )
15 elin 
 |-  ( z e. ( y i^i B ) <-> ( z e. y /\ z e. B ) )
16 14 15 bitri 
 |-  ( E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> ( z e. y /\ z e. B ) )
17 16 rexbii 
 |-  ( E. y e. A E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> E. y e. A ( z e. y /\ z e. B ) )
18 rexcom4 
 |-  ( E. y e. A E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> E. x E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
19 10 17 18 3bitr2i 
 |-  ( z e. ( U. A i^i B ) <-> E. x E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
20 4 5 19 3bitr4ri 
 |-  ( z e. ( U. A i^i B ) <-> z e. U. { x | E. y e. A x = ( y i^i B ) } )
21 20 eqriv 
 |-  ( U. A i^i B ) = U. { x | E. y e. A x = ( y i^i B ) }