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Theorem inex1

Description: Separation Scheme (Aussonderung) using class notation. Compare Exercise 4 of TakeutiZaring p. 22. (Contributed by NM, 21-Jun-1993)

Ref Expression
Hypothesis inex1.1 
|- A e. _V
Assertion inex1 
|- ( A i^i B ) e. _V

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 inex1.1 
 |-  A e. _V
2 1 zfauscl 
 |-  E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. A /\ y e. B ) )
3 dfcleq 
 |-  ( x = ( A i^i B ) <-> A. y ( y e. x <-> y e. ( A i^i B ) ) )
4 elin 
 |-  ( y e. ( A i^i B ) <-> ( y e. A /\ y e. B ) )
5 4 bibi2i 
 |-  ( ( y e. x <-> y e. ( A i^i B ) ) <-> ( y e. x <-> ( y e. A /\ y e. B ) ) )
6 5 albii 
 |-  ( A. y ( y e. x <-> y e. ( A i^i B ) ) <-> A. y ( y e. x <-> ( y e. A /\ y e. B ) ) )
7 3 6 bitri 
 |-  ( x = ( A i^i B ) <-> A. y ( y e. x <-> ( y e. A /\ y e. B ) ) )
8 7 exbii 
 |-  ( E. x x = ( A i^i B ) <-> E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. A /\ y e. B ) ) )
9 2 8 mpbir 
 |-  E. x x = ( A i^i B )
10 9 issetri 
 |-  ( A i^i B ) e. _V