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Theorem gsumbagdiaglem

Description: Lemma for gsumbagdiag . (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015) Remove a sethood hypothesis. (Revised by SN, 6-Aug-2024)

Ref Expression
Hypotheses gsumbagdiag.d 
|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
gsumbagdiag.s 
|- S = { y e. D | y oR <_ F }
gsumbagdiag.f 
|- ( ph -> F e. D )
Assertion gsumbagdiaglem 
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( Y e. S /\ X e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - Y ) } ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 gsumbagdiag.d 
 |-  D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
2 gsumbagdiag.s 
 |-  S = { y e. D | y oR <_ F }
3 gsumbagdiag.f 
 |-  ( ph -> F e. D )
4 simprr 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } )
5 breq1 
 |-  ( x = Y -> ( x oR <_ ( F oF - X ) <-> Y oR <_ ( F oF - X ) ) )
6 5 elrab 
 |-  ( Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } <-> ( Y e. D /\ Y oR <_ ( F oF - X ) ) )
7 4 6 sylib 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( Y e. D /\ Y oR <_ ( F oF - X ) ) )
8 7 simpld 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y e. D )
9 7 simprd 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y oR <_ ( F oF - X ) )
10 3 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> F e. D )
11 simprl 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X e. S )
12 breq1 
 |-  ( y = X -> ( y oR <_ F <-> X oR <_ F ) )
13 12 2 elrab2 
 |-  ( X e. S <-> ( X e. D /\ X oR <_ F ) )
14 11 13 sylib 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( X e. D /\ X oR <_ F ) )
15 14 simpld 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X e. D )
16 1 psrbagf 
 |-  ( X e. D -> X : I --> NN0 )
17 15 16 syl 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X : I --> NN0 )
18 14 simprd 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X oR <_ F )
19 1 psrbagcon 
 |-  ( ( F e. D /\ X : I --> NN0 /\ X oR <_ F ) -> ( ( F oF - X ) e. D /\ ( F oF - X ) oR <_ F ) )
20 10 17 18 19 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( ( F oF - X ) e. D /\ ( F oF - X ) oR <_ F ) )
21 20 simprd 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - X ) oR <_ F )
22 1 psrbagf 
 |-  ( F e. D -> F : I --> NN0 )
23 10 22 syl 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> F : I --> NN0 )
24 23 ffnd 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> F Fn I )
25 10 24 fndmexd 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> I e. _V )
26 1 psrbagf 
 |-  ( Y e. D -> Y : I --> NN0 )
27 8 26 syl 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y : I --> NN0 )
28 20 simpld 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - X ) e. D )
29 1 psrbagf 
 |-  ( ( F oF - X ) e. D -> ( F oF - X ) : I --> NN0 )
30 28 29 syl 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - X ) : I --> NN0 )
31 nn0re 
 |-  ( u e. NN0 -> u e. RR )
32 nn0re 
 |-  ( v e. NN0 -> v e. RR )
33 nn0re 
 |-  ( w e. NN0 -> w e. RR )
34 letr 
 |-  ( ( u e. RR /\ v e. RR /\ w e. RR ) -> ( ( u <_ v /\ v <_ w ) -> u <_ w ) )
35 31 32 33 34 syl3an 
 |-  ( ( u e. NN0 /\ v e. NN0 /\ w e. NN0 ) -> ( ( u <_ v /\ v <_ w ) -> u <_ w ) )
36 35 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ ( u e. NN0 /\ v e. NN0 /\ w e. NN0 ) ) -> ( ( u <_ v /\ v <_ w ) -> u <_ w ) )
37 25 27 30 23 36 caoftrn 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( ( Y oR <_ ( F oF - X ) /\ ( F oF - X ) oR <_ F ) -> Y oR <_ F ) )
38 9 21 37 mp2and 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y oR <_ F )
39 breq1 
 |-  ( y = Y -> ( y oR <_ F <-> Y oR <_ F ) )
40 39 2 elrab2 
 |-  ( Y e. S <-> ( Y e. D /\ Y oR <_ F ) )
41 8 38 40 sylanbrc 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y e. S )
42 breq1 
 |-  ( x = X -> ( x oR <_ ( F oF - Y ) <-> X oR <_ ( F oF - Y ) ) )
43 17 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) e. NN0 )
44 27 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( Y ` z ) e. NN0 )
45 23 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( F ` z ) e. NN0 )
46 nn0re 
 |-  ( ( X ` z ) e. NN0 -> ( X ` z ) e. RR )
47 nn0re 
 |-  ( ( Y ` z ) e. NN0 -> ( Y ` z ) e. RR )
48 nn0re 
 |-  ( ( F ` z ) e. NN0 -> ( F ` z ) e. RR )
49 leaddsub2 
 |-  ( ( ( X ` z ) e. RR /\ ( Y ` z ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) -> ( ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) <_ ( F ` z ) <-> ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) ) )
50 leaddsub 
 |-  ( ( ( X ` z ) e. RR /\ ( Y ` z ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) -> ( ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) <_ ( F ` z ) <-> ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
51 49 50 bitr3d 
 |-  ( ( ( X ` z ) e. RR /\ ( Y ` z ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) -> ( ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) <-> ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
52 46 47 48 51 syl3an 
 |-  ( ( ( X ` z ) e. NN0 /\ ( Y ` z ) e. NN0 /\ ( F ` z ) e. NN0 ) -> ( ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) <-> ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
53 43 44 45 52 syl3anc 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) <-> ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
54 53 ralbidva 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( A. z e. I ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) <-> A. z e. I ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
55 ovexd 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) e. _V )
56 27 feqmptd 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) )
57 17 ffnd 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X Fn I )
58 inidm 
 |-  ( I i^i I ) = I
59 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
60 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) = ( X ` z ) )
61 24 57 25 25 58 59 60 offval 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - X ) = ( z e. I |-> ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) ) )
62 25 44 55 56 61 ofrfval2 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( Y oR <_ ( F oF - X ) <-> A. z e. I ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) ) )
63 ovexd 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) e. _V )
64 17 feqmptd 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X = ( z e. I |-> ( X ` z ) ) )
65 27 ffnd 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y Fn I )
66 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( Y ` z ) = ( Y ` z ) )
67 24 65 25 25 58 59 66 offval 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - Y ) = ( z e. I |-> ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
68 25 43 63 64 67 ofrfval2 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( X oR <_ ( F oF - Y ) <-> A. z e. I ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
69 54 62 68 3bitr4d 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( Y oR <_ ( F oF - X ) <-> X oR <_ ( F oF - Y ) ) )
70 9 69 mpbid 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X oR <_ ( F oF - Y ) )
71 42 15 70 elrabd 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - Y ) } )
72 41 71 jca 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( Y e. S /\ X e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - Y ) } ) )