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Theorem grpinvalem

Description: Lemma for grpinva . (Contributed by NM, 9-Aug-2013)

Ref Expression
Hypotheses grpinva.c 
|- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
grpinva.o 
|- ( ph -> O e. B )
grpinva.i 
|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( O .+ x ) = x )
grpinva.a 
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
grpinva.r 
|- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. B ( y .+ x ) = O )
grpinvalem.x 
|- ( ( ph /\ ps ) -> X e. B )
grpinvalem.e 
|- ( ( ph /\ ps ) -> ( X .+ X ) = X )
Assertion grpinvalem 
|- ( ( ph /\ ps ) -> X = O )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 grpinva.c 
 |-  ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
2 grpinva.o 
 |-  ( ph -> O e. B )
3 grpinva.i 
 |-  ( ( ph /\ x e. B ) -> ( O .+ x ) = x )
4 grpinva.a 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
5 grpinva.r 
 |-  ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. B ( y .+ x ) = O )
6 grpinvalem.x 
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> X e. B )
7 grpinvalem.e 
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> ( X .+ X ) = X )
8 5 ralrimiva 
 |-  ( ph -> A. x e. B E. y e. B ( y .+ x ) = O )
9 oveq2 
 |-  ( x = z -> ( y .+ x ) = ( y .+ z ) )
10 9 eqeq1d 
 |-  ( x = z -> ( ( y .+ x ) = O <-> ( y .+ z ) = O ) )
11 10 rexbidv 
 |-  ( x = z -> ( E. y e. B ( y .+ x ) = O <-> E. y e. B ( y .+ z ) = O ) )
12 11 cbvralvw 
 |-  ( A. x e. B E. y e. B ( y .+ x ) = O <-> A. z e. B E. y e. B ( y .+ z ) = O )
13 8 12 sylib 
 |-  ( ph -> A. z e. B E. y e. B ( y .+ z ) = O )
14 oveq2 
 |-  ( z = X -> ( y .+ z ) = ( y .+ X ) )
15 14 eqeq1d 
 |-  ( z = X -> ( ( y .+ z ) = O <-> ( y .+ X ) = O ) )
16 15 rexbidv 
 |-  ( z = X -> ( E. y e. B ( y .+ z ) = O <-> E. y e. B ( y .+ X ) = O ) )
17 16 rspccva 
 |-  ( ( A. z e. B E. y e. B ( y .+ z ) = O /\ X e. B ) -> E. y e. B ( y .+ X ) = O )
18 13 6 17 syl2an2r 
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> E. y e. B ( y .+ X ) = O )
19 7 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> ( y .+ ( X .+ X ) ) = ( y .+ X ) )
20 19 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( y .+ ( X .+ X ) ) = ( y .+ X ) )
21 simprr 
 |-  ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( y .+ X ) = O )
22 21 oveq1d 
 |-  ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( ( y .+ X ) .+ X ) = ( O .+ X ) )
23 4 caovassg 
 |-  ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
24 23 ad4ant14 
 |-  ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
25 simprl 
 |-  ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> y e. B )
26 6 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> X e. B )
27 24 25 26 26 caovassd 
 |-  ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( ( y .+ X ) .+ X ) = ( y .+ ( X .+ X ) ) )
28 oveq2 
 |-  ( y = X -> ( O .+ y ) = ( O .+ X ) )
29 id 
 |-  ( y = X -> y = X )
30 28 29 eqeq12d 
 |-  ( y = X -> ( ( O .+ y ) = y <-> ( O .+ X ) = X ) )
31 3 ralrimiva 
 |-  ( ph -> A. x e. B ( O .+ x ) = x )
32 oveq2 
 |-  ( x = y -> ( O .+ x ) = ( O .+ y ) )
33 id 
 |-  ( x = y -> x = y )
34 32 33 eqeq12d 
 |-  ( x = y -> ( ( O .+ x ) = x <-> ( O .+ y ) = y ) )
35 34 cbvralvw 
 |-  ( A. x e. B ( O .+ x ) = x <-> A. y e. B ( O .+ y ) = y )
36 31 35 sylib 
 |-  ( ph -> A. y e. B ( O .+ y ) = y )
37 36 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> A. y e. B ( O .+ y ) = y )
38 30 37 6 rspcdva 
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> ( O .+ X ) = X )
39 38 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( O .+ X ) = X )
40 22 27 39 3eqtr3d 
 |-  ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( y .+ ( X .+ X ) ) = X )
41 20 40 21 3eqtr3d 
 |-  ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> X = O )
42 18 41 rexlimddv 
 |-  ( ( ph /\ ps ) -> X = O )