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Theorem fzostep1

Description: Two possibilities for a number one greater than a number in a half-open range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015)

Ref Expression
Assertion fzostep1 
|- ( A e. ( B ..^ C ) -> ( ( A + 1 ) e. ( B ..^ C ) \/ ( A + 1 ) = C ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elfzoel1 
 |-  ( A e. ( B ..^ C ) -> B e. ZZ )
2 uzid 
 |-  ( B e. ZZ -> B e. ( ZZ>= ` B ) )
3 peano2uz 
 |-  ( B e. ( ZZ>= ` B ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) )
4 fzoss1 
 |-  ( ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) -> ( ( B + 1 ) ..^ ( C + 1 ) ) C_ ( B ..^ ( C + 1 ) ) )
5 1 2 3 4 4syl 
 |-  ( A e. ( B ..^ C ) -> ( ( B + 1 ) ..^ ( C + 1 ) ) C_ ( B ..^ ( C + 1 ) ) )
6 1z 
 |-  1 e. ZZ
7 fzoaddel 
 |-  ( ( A e. ( B ..^ C ) /\ 1 e. ZZ ) -> ( A + 1 ) e. ( ( B + 1 ) ..^ ( C + 1 ) ) )
8 6 7 mpan2 
 |-  ( A e. ( B ..^ C ) -> ( A + 1 ) e. ( ( B + 1 ) ..^ ( C + 1 ) ) )
9 5 8 sseldd 
 |-  ( A e. ( B ..^ C ) -> ( A + 1 ) e. ( B ..^ ( C + 1 ) ) )
10 elfzoel2 
 |-  ( A e. ( B ..^ C ) -> C e. ZZ )
11 elfzolt3 
 |-  ( A e. ( B ..^ C ) -> B < C )
12 zre 
 |-  ( B e. ZZ -> B e. RR )
13 zre 
 |-  ( C e. ZZ -> C e. RR )
14 ltle 
 |-  ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B < C -> B <_ C ) )
15 12 13 14 syl2an 
 |-  ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B < C -> B <_ C ) )
16 1 10 15 syl2anc 
 |-  ( A e. ( B ..^ C ) -> ( B < C -> B <_ C ) )
17 11 16 mpd 
 |-  ( A e. ( B ..^ C ) -> B <_ C )
18 eluz2 
 |-  ( C e. ( ZZ>= ` B ) <-> ( B e. ZZ /\ C e. ZZ /\ B <_ C ) )
19 1 10 17 18 syl3anbrc 
 |-  ( A e. ( B ..^ C ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) )
20 fzosplitsni 
 |-  ( C e. ( ZZ>= ` B ) -> ( ( A + 1 ) e. ( B ..^ ( C + 1 ) ) <-> ( ( A + 1 ) e. ( B ..^ C ) \/ ( A + 1 ) = C ) ) )
21 19 20 syl 
 |-  ( A e. ( B ..^ C ) -> ( ( A + 1 ) e. ( B ..^ ( C + 1 ) ) <-> ( ( A + 1 ) e. ( B ..^ C ) \/ ( A + 1 ) = C ) ) )
22 9 21 mpbid 
 |-  ( A e. ( B ..^ C ) -> ( ( A + 1 ) e. ( B ..^ C ) \/ ( A + 1 ) = C ) )