| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
cnlnadjlem.1 |
|- T e. LinOp |
| 2 |
|
cnlnadjlem.2 |
|- T e. ContOp |
| 3 |
|
cnlnadjlem.3 |
|- G = ( g e. ~H |-> ( ( T ` g ) .ih y ) ) |
| 4 |
|
cnlnadjlem.4 |
|- B = ( iota_ w e. ~H A. v e. ~H ( ( T ` v ) .ih y ) = ( v .ih w ) ) |
| 5 |
|
cnlnadjlem.5 |
|- F = ( y e. ~H |-> B ) |
| 6 |
1 2
|
nmcopexi |
|- ( normop ` T ) e. RR |
| 7 |
1 2 3 4 5
|
cnlnadjlem7 |
|- ( z e. ~H -> ( normh ` ( F ` z ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) ) |
| 8 |
7
|
rgen |
|- A. z e. ~H ( normh ` ( F ` z ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) |
| 9 |
|
oveq1 |
|- ( x = ( normop ` T ) -> ( x x. ( normh ` z ) ) = ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) ) |
| 10 |
9
|
breq2d |
|- ( x = ( normop ` T ) -> ( ( normh ` ( F ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) <-> ( normh ` ( F ` z ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) ) ) |
| 11 |
10
|
ralbidv |
|- ( x = ( normop ` T ) -> ( A. z e. ~H ( normh ` ( F ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) <-> A. z e. ~H ( normh ` ( F ` z ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) ) ) |
| 12 |
11
|
rspcev |
|- ( ( ( normop ` T ) e. RR /\ A. z e. ~H ( normh ` ( F ` z ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) ) -> E. x e. RR A. z e. ~H ( normh ` ( F ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) ) |
| 13 |
6 8 12
|
mp2an |
|- E. x e. RR A. z e. ~H ( normh ` ( F ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) |
| 14 |
1 2 3 4 5
|
cnlnadjlem6 |
|- F e. LinOp |
| 15 |
14
|
lnopconi |
|- ( F e. ContOp <-> E. x e. RR A. z e. ~H ( normh ` ( F ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) ) |
| 16 |
13 15
|
mpbir |
|- F e. ContOp |