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Theorem cdlemc5

Description: Lemma for cdlemc . (Contributed by NM, 26-May-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdlemc3.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemc3.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemc3.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemc3.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemc3.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemc3.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemc3.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
Assertion cdlemc5 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( F ` Q ) = ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemc3.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemc3.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdlemc3.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdlemc3.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdlemc3.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdlemc3.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7 cdlemc3.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
8 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> K e. HL )
9 simp23l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> Q e. A )
10 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
11 simp21 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> F e. T )
12 1 4 5 6 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ Q e. A ) -> ( F ` Q ) e. A )
13 10 11 9 12 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( F ` Q ) e. A )
14 1 2 4 hlatlej2 
 |-  ( ( K e. HL /\ Q e. A /\ ( F ` Q ) e. A ) -> ( F ` Q ) .<_ ( Q .\/ ( F ` Q ) ) )
15 8 9 13 14 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( F ` Q ) .<_ ( Q .\/ ( F ` Q ) ) )
16 simp23 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
17 1 2 4 5 6 7 trljat1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( Q .\/ ( R ` F ) ) = ( Q .\/ ( F ` Q ) ) )
18 10 11 16 17 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( Q .\/ ( R ` F ) ) = ( Q .\/ ( F ` Q ) ) )
19 15 18 breqtrrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( F ` Q ) .<_ ( Q .\/ ( R ` F ) ) )
20 simp22 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
21 1 2 3 4 5 6 cdlemc2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( F ` Q ) .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) )
22 10 11 20 16 21 syl112anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( F ` Q ) .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) )
23 8 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> K e. Lat )
24 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
25 24 4 atbase 
 |-  ( Q e. A -> Q e. ( Base ` K ) )
26 9 25 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> Q e. ( Base ` K ) )
27 24 5 6 ltrncl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ Q e. ( Base ` K ) ) -> ( F ` Q ) e. ( Base ` K ) )
28 10 11 26 27 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( F ` Q ) e. ( Base ` K ) )
29 24 5 6 7 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( R ` F ) e. ( Base ` K ) )
30 10 11 29 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( R ` F ) e. ( Base ` K ) )
31 24 2 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Q e. ( Base ` K ) /\ ( R ` F ) e. ( Base ` K ) ) -> ( Q .\/ ( R ` F ) ) e. ( Base ` K ) )
32 23 26 30 31 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( Q .\/ ( R ` F ) ) e. ( Base ` K ) )
33 simp22l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> P e. A )
34 24 4 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) )
35 33 34 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> P e. ( Base ` K ) )
36 24 5 6 ltrncl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. ( Base ` K ) ) -> ( F ` P ) e. ( Base ` K ) )
37 10 11 35 36 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( F ` P ) e. ( Base ` K ) )
38 24 2 4 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
39 8 33 9 38 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
40 simp1r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> W e. H )
41 24 5 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) )
42 40 41 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> W e. ( Base ` K ) )
43 24 3 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) )
44 23 39 42 43 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) )
45 24 2 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( F ` P ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) )
46 23 37 44 45 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) )
47 24 1 3 latlem12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ( F ` Q ) e. ( Base ` K ) /\ ( Q .\/ ( R ` F ) ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( ( F ` Q ) .<_ ( Q .\/ ( R ` F ) ) /\ ( F ` Q ) .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) <-> ( F ` Q ) .<_ ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) ) )
48 23 28 32 46 47 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( ( ( F ` Q ) .<_ ( Q .\/ ( R ` F ) ) /\ ( F ` Q ) .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) <-> ( F ` Q ) .<_ ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) ) )
49 19 22 48 mpbi2and 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( F ` Q ) .<_ ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) )
50 hlatl 
 |-  ( K e. HL -> K e. AtLat )
51 8 50 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> K e. AtLat )
52 simp3r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( F ` P ) =/= P )
53 1 4 5 6 7 trlat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F e. T /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( R ` F ) e. A )
54 10 20 11 52 53 syl112anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( R ` F ) e. A )
55 1 5 6 7 trlle 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( R ` F ) .<_ W )
56 10 11 55 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( R ` F ) .<_ W )
57 simp23r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> -. Q .<_ W )
58 nbrne2 
 |-  ( ( ( R ` F ) .<_ W /\ -. Q .<_ W ) -> ( R ` F ) =/= Q )
59 58 necomd 
 |-  ( ( ( R ` F ) .<_ W /\ -. Q .<_ W ) -> Q =/= ( R ` F ) )
60 56 57 59 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> Q =/= ( R ` F ) )
61 eqid 
 |-  ( LLines ` K ) = ( LLines ` K )
62 2 4 61 llni2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ Q e. A /\ ( R ` F ) e. A ) /\ Q =/= ( R ` F ) ) -> ( Q .\/ ( R ` F ) ) e. ( LLines ` K ) )
63 8 9 54 60 62 syl31anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( Q .\/ ( R ` F ) ) e. ( LLines ` K ) )
64 1 4 5 6 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. A ) -> ( F ` P ) e. A )
65 10 11 33 64 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( F ` P ) e. A )
66 1 2 4 hlatlej1 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ ( F ` P ) e. A ) -> P .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) )
67 8 33 65 66 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> P .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) )
68 simp3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) )
69 nbrne2 
 |-  ( ( P .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) -> P =/= Q )
70 67 68 69 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> P =/= Q )
71 1 2 3 4 5 lhpat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. A )
72 10 20 9 70 71 syl112anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. A )
73 24 1 3 latmle2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W )
74 23 39 42 73 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W )
75 1 4 5 6 ltrnel 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( F ` P ) e. A /\ -. ( F ` P ) .<_ W ) )
76 75 simprd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> -. ( F ` P ) .<_ W )
77 10 11 20 76 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> -. ( F ` P ) .<_ W )
78 nbrne2 
 |-  ( ( ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W /\ -. ( F ` P ) .<_ W ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) =/= ( F ` P ) )
79 78 necomd 
 |-  ( ( ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W /\ -. ( F ` P ) .<_ W ) -> ( F ` P ) =/= ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) )
80 74 77 79 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( F ` P ) =/= ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) )
81 2 4 61 llni2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( F ` P ) e. A /\ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. A ) /\ ( F ` P ) =/= ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) e. ( LLines ` K ) )
82 8 65 72 80 81 syl31anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) e. ( LLines ` K ) )
83 1 2 3 4 5 6 7 cdlemc4 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) -> ( Q .\/ ( R ` F ) ) =/= ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) )
84 83 3adant3r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( Q .\/ ( R ` F ) ) =/= ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) )
85 24 3 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( Q .\/ ( R ` F ) ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) e. ( Base ` K ) )
86 23 32 46 85 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) e. ( Base ` K ) )
87 eqid 
 |-  ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
88 24 1 87 4 atlen0 
 |-  ( ( ( K e. AtLat /\ ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) e. ( Base ` K ) /\ ( F ` Q ) e. A ) /\ ( F ` Q ) .<_ ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) ) -> ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) =/= ( 0. ` K ) )
89 51 86 13 49 88 syl31anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) =/= ( 0. ` K ) )
90 3 87 4 61 2llnmat 
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