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Theorem cdlemc4

Description: Part of proof of Lemma C in Crawley p. 113. (Contributed by NM, 26-May-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdlemc3.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemc3.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemc3.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemc3.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemc3.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemc3.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemc3.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
Assertion cdlemc4 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) -> ( Q .\/ ( R ` F ) ) =/= ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemc3.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemc3.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdlemc3.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdlemc3.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdlemc3.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdlemc3.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7 cdlemc3.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
8 simpll 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> K e. HL )
9 8 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> K e. Lat )
10 simpl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
11 simpr1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> F e. T )
12 simpr2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> P e. A )
13 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
14 13 4 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) )
15 12 14 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> P e. ( Base ` K ) )
16 13 5 6 ltrncl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. ( Base ` K ) ) -> ( F ` P ) e. ( Base ` K ) )
17 10 11 15 16 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( F ` P ) e. ( Base ` K ) )
18 simpr3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> Q e. A )
19 13 2 4 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
20 8 12 18 19 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
21 13 5 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) )
22 21 ad2antlr 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> W e. ( Base ` K ) )
23 13 3 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) )
24 9 20 22 23 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) )
25 13 1 2 latlej1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( F ` P ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) ) -> ( F ` P ) .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) )
26 9 17 24 25 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( F ` P ) .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) )
27 breq2 
 |-  ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) = ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) -> ( ( F ` P ) .<_ ( Q .\/ ( R ` F ) ) <-> ( F ` P ) .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) )
28 26 27 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) = ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) -> ( F ` P ) .<_ ( Q .\/ ( R ` F ) ) ) )
29 1 2 3 4 5 6 7 cdlemc3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( ( F ` P ) .<_ ( Q .\/ ( R ` F ) ) -> Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) )
30 28 29 syld 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) = ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) -> Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) )
31 30 necon3bd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) -> ( Q .\/ ( R ` F ) ) =/= ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) )
32 31 3impia 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) -> ( Q .\/ ( R ` F ) ) =/= ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) )