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Theorem cdlemc2

Description: Part of proof of Lemma C in Crawley p. 112. (Contributed by NM, 25-May-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdlemc2.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemc2.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemc2.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemc2.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemc2.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemc2.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
Assertion cdlemc2 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( F ` Q ) .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemc2.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemc2.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdlemc2.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdlemc2.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdlemc2.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdlemc2.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> K e. HL )
8 simp3ll 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> P e. A )
9 simp3rl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> Q e. A )
10 1 2 4 hlatlej2 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> Q .<_ ( P .\/ Q ) )
11 7 8 9 10 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> Q .<_ ( P .\/ Q ) )
12 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
14 13 4 atbase 
 |-  ( Q e. A -> Q e. ( Base ` K ) )
15 9 14 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> Q e. ( Base ` K ) )
16 simp3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
17 13 1 2 3 4 5 cdlemc1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Q e. ( Base ` K ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) = ( P .\/ Q ) )
18 12 15 16 17 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) = ( P .\/ Q ) )
19 11 18 breqtrrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> Q .<_ ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) )
20 simp2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> F e. T )
21 7 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> K e. Lat )
22 13 4 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) )
23 8 22 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> P e. ( Base ` K ) )
24 13 2 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. ( Base ` K ) /\ Q e. ( Base ` K ) ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
25 21 23 15 24 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
26 simp1r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> W e. H )
27 13 5 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) )
28 26 27 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> W e. ( Base ` K ) )
29 13 3 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) )
30 21 25 28 29 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) )
31 13 2 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. ( Base ` K ) /\ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) ) -> ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) )
32 21 23 30 31 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) )
33 13 1 5 6 ltrnle 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( Q e. ( Base ` K ) /\ ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( Q .<_ ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) <-> ( F ` Q ) .<_ ( F ` ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) ) )
34 12 20 15 32 33 syl112anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( Q .<_ ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) <-> ( F ` Q ) .<_ ( F ` ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) ) )
35 19 34 mpbid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( F ` Q ) .<_ ( F ` ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) )
36 13 2 5 6 ltrnj 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. ( Base ` K ) /\ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( F ` ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) = ( ( F ` P ) .\/ ( F ` ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) )
37 12 20 23 30 36 syl112anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( F ` ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) = ( ( F ` P ) .\/ ( F ` ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) )
38 13 1 3 latmle2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W )
39 21 25 28 38 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W )
40 13 1 5 6 ltrnval1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W ) ) -> ( F ` ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) )
41 12 20 30 39 40 syl112anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( F ` ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) )
42 41 oveq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( F ` ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) = ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) )
43 37 42 eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( F ` ( P .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) = ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) )
44 35 43 breqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( F ` Q ) .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) )