| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
ackbij.f |
|- F = ( x e. ( ~P _om i^i Fin ) |-> ( card ` U_ y e. x ( { y } X. ~P y ) ) ) |
| 2 |
|
elinel2 |
|- ( x e. ( ~P _om i^i Fin ) -> x e. Fin ) |
| 3 |
|
snfi |
|- { y } e. Fin |
| 4 |
|
elinel1 |
|- ( x e. ( ~P _om i^i Fin ) -> x e. ~P _om ) |
| 5 |
4
|
elpwid |
|- ( x e. ( ~P _om i^i Fin ) -> x C_ _om ) |
| 6 |
|
onfin2 |
|- _om = ( On i^i Fin ) |
| 7 |
|
inss2 |
|- ( On i^i Fin ) C_ Fin |
| 8 |
6 7
|
eqsstri |
|- _om C_ Fin |
| 9 |
5 8
|
sstrdi |
|- ( x e. ( ~P _om i^i Fin ) -> x C_ Fin ) |
| 10 |
9
|
sselda |
|- ( ( x e. ( ~P _om i^i Fin ) /\ y e. x ) -> y e. Fin ) |
| 11 |
|
pwfi |
|- ( y e. Fin <-> ~P y e. Fin ) |
| 12 |
10 11
|
sylib |
|- ( ( x e. ( ~P _om i^i Fin ) /\ y e. x ) -> ~P y e. Fin ) |
| 13 |
|
xpfi |
|- ( ( { y } e. Fin /\ ~P y e. Fin ) -> ( { y } X. ~P y ) e. Fin ) |
| 14 |
3 12 13
|
sylancr |
|- ( ( x e. ( ~P _om i^i Fin ) /\ y e. x ) -> ( { y } X. ~P y ) e. Fin ) |
| 15 |
14
|
ralrimiva |
|- ( x e. ( ~P _om i^i Fin ) -> A. y e. x ( { y } X. ~P y ) e. Fin ) |
| 16 |
|
iunfi |
|- ( ( x e. Fin /\ A. y e. x ( { y } X. ~P y ) e. Fin ) -> U_ y e. x ( { y } X. ~P y ) e. Fin ) |
| 17 |
2 15 16
|
syl2anc |
|- ( x e. ( ~P _om i^i Fin ) -> U_ y e. x ( { y } X. ~P y ) e. Fin ) |
| 18 |
|
ficardom |
|- ( U_ y e. x ( { y } X. ~P y ) e. Fin -> ( card ` U_ y e. x ( { y } X. ~P y ) ) e. _om ) |
| 19 |
17 18
|
syl |
|- ( x e. ( ~P _om i^i Fin ) -> ( card ` U_ y e. x ( { y } X. ~P y ) ) e. _om ) |
| 20 |
1 19
|
fmpti |
|- F : ( ~P _om i^i Fin ) --> _om |