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Theorem xbln0

Description: A ball is nonempty iff the radius is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015)

Ref Expression
Assertion xbln0 ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ≠ ∅ ↔ 0 < 𝑅 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 n0 ⊢ ( ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) )
2 elbl ⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) < 𝑅 ) ) )
3 xmetge0 ⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 0 ≤ ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) )
4 3 3expa ⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 0 ≤ ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) )
5 4 3adantl3 ⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 0 ≤ ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) )
6 0xr ⊢ 0 ∈ ℝ*
7 xmetcl ⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) ∈ ℝ* )
8 7 3expa ⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) ∈ ℝ* )
9 8 3adantl3 ⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) ∈ ℝ* )
10 simpl3 ⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑅 ∈ ℝ* )
11 xrlelttr ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( ( 0 ≤ ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) ∧ ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) < 𝑅 ) → 0 < 𝑅 ) )
12 6 9 10 11 mp3an2i ⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 0 ≤ ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) ∧ ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) < 𝑅 ) → 0 < 𝑅 ) )
13 5 12 mpand ⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) < 𝑅 → 0 < 𝑅 ) )
14 13 expimpd ⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) < 𝑅 ) → 0 < 𝑅 ) )
15 2 14 sylbid ⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) → 0 < 𝑅 ) )
16 15 exlimdv ⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( ∃ 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) → 0 < 𝑅 ) )
17 1 16 biimtrid ⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ≠ ∅ → 0 < 𝑅 ) )
18 xblcntr ⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) )
19 18 ne0d ⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ≠ ∅ )
20 19 3expa ⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ≠ ∅ )
21 20 expr ⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( 0 < 𝑅 → ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ≠ ∅ ) )
22 21 3impa ⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( 0 < 𝑅 → ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ≠ ∅ ) )
23 17 22 impbid ⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ≠ ∅ ↔ 0 < 𝑅 ) )