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Theorem txmetcn

Description: Continuity of a binary operation on metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015)

Ref Expression
Hypotheses metcn.2 ⊢ 𝐽 = ( MetOpen ‘ 𝐶 )
metcn.4 ⊢ 𝐾 = ( MetOpen ‘ 𝐷 )
txmetcnp.4 ⊢ 𝐿 = ( MetOpen ‘ 𝐸 )
Assertion txmetcn ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐸 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑍 ) ) → ( 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐾 ) Cn 𝐿 ) ↔ ( 𝐹 : ( 𝑋 × 𝑌 ) ⟶ 𝑍 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑌 ∀ 𝑧 ∈ ℝ+ ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( 𝑥 𝐶 𝑢 ) < 𝑤 ∧ ( 𝑦 𝐷 𝑣 ) < 𝑤 ) → ( ( 𝑥 𝐹 𝑦 ) 𝐸 ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) ) < 𝑧 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 metcn.2 ⊢ 𝐽 = ( MetOpen ‘ 𝐶 )
2 metcn.4 ⊢ 𝐾 = ( MetOpen ‘ 𝐷 )
3 txmetcnp.4 ⊢ 𝐿 = ( MetOpen ‘ 𝐸 )
4 1 mopntopon ⊢ ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) → 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) )
5 2 mopntopon ⊢ ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) → 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) )
6 txtopon ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) → ( 𝐽 ×t 𝐾 ) ∈ ( TopOn ‘ ( 𝑋 × 𝑌 ) ) )
7 4 5 6 syl2an ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ) → ( 𝐽 ×t 𝐾 ) ∈ ( TopOn ‘ ( 𝑋 × 𝑌 ) ) )
8 7 3adant3 ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐸 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑍 ) ) → ( 𝐽 ×t 𝐾 ) ∈ ( TopOn ‘ ( 𝑋 × 𝑌 ) ) )
9 3 mopntopon ⊢ ( 𝐸 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑍 ) → 𝐿 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) )
10 9 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐸 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑍 ) ) → 𝐿 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) )
11 cncnp ⊢ ( ( ( 𝐽 ×t 𝐾 ) ∈ ( TopOn ‘ ( 𝑋 × 𝑌 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ) → ( 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐾 ) Cn 𝐿 ) ↔ ( 𝐹 : ( 𝑋 × 𝑌 ) ⟶ 𝑍 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑋 × 𝑌 ) 𝐹 ∈ ( ( ( 𝐽 ×t 𝐾 ) CnP 𝐿 ) ‘ 𝑡 ) ) ) )
12 8 10 11 syl2anc ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐸 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑍 ) ) → ( 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐾 ) Cn 𝐿 ) ↔ ( 𝐹 : ( 𝑋 × 𝑌 ) ⟶ 𝑍 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑋 × 𝑌 ) 𝐹 ∈ ( ( ( 𝐽 ×t 𝐾 ) CnP 𝐿 ) ‘ 𝑡 ) ) ) )
13 fveq2 ⊢ ( 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ → ( ( ( 𝐽 ×t 𝐾 ) CnP 𝐿 ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ( 𝐽 ×t 𝐾 ) CnP 𝐿 ) ‘ ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ) )
14 13 eleq2d ⊢ ( 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ → ( 𝐹 ∈ ( ( ( 𝐽 ×t 𝐾 ) CnP 𝐿 ) ‘ 𝑡 ) ↔ 𝐹 ∈ ( ( ( 𝐽 ×t 𝐾 ) CnP 𝐿 ) ‘ ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ) ) )
15 14 ralxp ⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑋 × 𝑌 ) 𝐹 ∈ ( ( ( 𝐽 ×t 𝐾 ) CnP 𝐿 ) ‘ 𝑡 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑌 𝐹 ∈ ( ( ( 𝐽 ×t 𝐾 ) CnP 𝐿 ) ‘ ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ) )
16 simplr ⊢ ( ( ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐸 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑍 ) ) ∧ 𝐹 : ( 𝑋 × 𝑌 ) ⟶ 𝑍 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ) ) → 𝐹 : ( 𝑋 × 𝑌 ) ⟶ 𝑍 )
17 1 2 3 txmetcnp ⊢ ( ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐸 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ) ) → ( 𝐹 ∈ ( ( ( 𝐽 ×t 𝐾 ) CnP 𝐿 ) ‘ ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ) ↔ ( 𝐹 : ( 𝑋 × 𝑌 ) ⟶ 𝑍 ∧ ∀ 𝑧 ∈ ℝ+ ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( 𝑥 𝐶 𝑢 ) < 𝑤 ∧ ( 𝑦 𝐷 𝑣 ) < 𝑤 ) → ( ( 𝑥 𝐹 𝑦 ) 𝐸 ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) ) < 𝑧 ) ) ) )
18 17 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐸 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑍 ) ) ∧ 𝐹 : ( 𝑋 × 𝑌 ) ⟶ 𝑍 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ) ) → ( 𝐹 ∈ ( ( ( 𝐽 ×t 𝐾 ) CnP 𝐿 ) ‘ ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ) ↔ ( 𝐹 : ( 𝑋 × 𝑌 ) ⟶ 𝑍 ∧ ∀ 𝑧 ∈ ℝ+ ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( 𝑥 𝐶 𝑢 ) < 𝑤 ∧ ( 𝑦 𝐷 𝑣 ) < 𝑤 ) → ( ( 𝑥 𝐹 𝑦 ) 𝐸 ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) ) < 𝑧 ) ) ) )
19 16 18 mpbirand ⊢ ( ( ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐸 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑍 ) ) ∧ 𝐹 : ( 𝑋 × 𝑌 ) ⟶ 𝑍 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ) ) → ( 𝐹 ∈ ( ( ( 𝐽 ×t 𝐾 ) CnP 𝐿 ) ‘ ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ ℝ+ ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( 𝑥 𝐶 𝑢 ) < 𝑤 ∧ ( 𝑦 𝐷 𝑣 ) < 𝑤 ) → ( ( 𝑥 𝐹 𝑦 ) 𝐸 ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) ) < 𝑧 ) ) )
20 19 2ralbidva ⊢ ( ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐸 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑍 ) ) ∧ 𝐹 : ( 𝑋 × 𝑌 ) ⟶ 𝑍 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑌 𝐹 ∈ ( ( ( 𝐽 ×t 𝐾 ) CnP 𝐿 ) ‘ ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑌 ∀ 𝑧 ∈ ℝ+ ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( 𝑥 𝐶 𝑢 ) < 𝑤 ∧ ( 𝑦 𝐷 𝑣 ) < 𝑤 ) → ( ( 𝑥 𝐹 𝑦 ) 𝐸 ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) ) < 𝑧 ) ) )
21 15 20 bitrid ⊢ ( ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐸 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑍 ) ) ∧ 𝐹 : ( 𝑋 × 𝑌 ) ⟶ 𝑍 ) → ( ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑋 × 𝑌 ) 𝐹 ∈ ( ( ( 𝐽 ×t 𝐾 ) CnP 𝐿 ) ‘ 𝑡 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑌 ∀ 𝑧 ∈ ℝ+ ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( 𝑥 𝐶 𝑢 ) < 𝑤 ∧ ( 𝑦 𝐷 𝑣 ) < 𝑤 ) → ( ( 𝑥 𝐹 𝑦 ) 𝐸 ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) ) < 𝑧 ) ) )
22 21 pm5.32da ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐸 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑍 ) ) → ( ( 𝐹 : ( 𝑋 × 𝑌 ) ⟶ 𝑍 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑋 × 𝑌 ) 𝐹 ∈ ( ( ( 𝐽 ×t 𝐾 ) CnP 𝐿 ) ‘ 𝑡 ) ) ↔ ( 𝐹 : ( 𝑋 × 𝑌 ) ⟶ 𝑍 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑌 ∀ 𝑧 ∈ ℝ+ ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( 𝑥 𝐶 𝑢 ) < 𝑤 ∧ ( 𝑦 𝐷 𝑣 ) < 𝑤 ) → ( ( 𝑥 𝐹 𝑦 ) 𝐸 ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) ) < 𝑧 ) ) ) )
23 12 22 bitrd ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐸 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑍 ) ) → ( 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐾 ) Cn 𝐿 ) ↔ ( 𝐹 : ( 𝑋 × 𝑌 ) ⟶ 𝑍 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑌 ∀ 𝑧 ∈ ℝ+ ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( 𝑥 𝐶 𝑢 ) < 𝑤 ∧ ( 𝑦 𝐷 𝑣 ) < 𝑤 ) → ( ( 𝑥 𝐹 𝑦 ) 𝐸 ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) ) < 𝑧 ) ) ) )