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Theorem supnfcls

Description: The filter of supersets of X \ U does not cluster at any point of the open set U . (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2015) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015)

Ref Expression
Assertion supnfcls ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) → ¬ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 disjdif ⊢ ( 𝑈 ∩ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ) = ∅
2 simpr ⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) )
3 simpl2 ⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) ) → 𝑈 ∈ 𝐽 )
4 simpl3 ⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) ) → 𝐴 ∈ 𝑈 )
5 sseq2 ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) → ( ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 ↔ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ) )
6 difss ⊢ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑋
7 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) ) → 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) )
8 toponmax ⊢ ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → 𝑋 ∈ 𝐽 )
9 elpw2g ⊢ ( 𝑋 ∈ 𝐽 → ( ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑋 ) )
10 7 8 9 3syl ⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) ) → ( ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑋 ) )
11 6 10 mpbiri ⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) ) → ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ∈ 𝒫 𝑋 )
12 ssidd ⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) ) → ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) )
13 5 11 12 elrabd ⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) ) → ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ∈ { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } )
14 fclsopni ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ∈ { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) ) → ( 𝑈 ∩ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ) ≠ ∅ )
15 2 3 4 13 14 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) ) → ( 𝑈 ∩ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ) ≠ ∅ )
16 15 ex ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) → ( 𝑈 ∩ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ) ≠ ∅ ) )
17 16 necon2bd ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) → ( ( 𝑈 ∩ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ) = ∅ → ¬ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) ) )
18 1 17 mpi ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) → ¬ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) )