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Theorem nmlno0

Description: The norm of a linear operator is zero iff the operator is zero. (Contributed by NM, 24-Nov-2007) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses nmlno0.3 ⊢ 𝑁 = ( 𝑈 normOpOLD 𝑊 )
nmlno0.0 ⊢ 𝑍 = ( 𝑈 0op 𝑊 )
nmlno0.7 ⊢ 𝐿 = ( 𝑈 LnOp 𝑊 )
Assertion nmlno0 ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿 ) → ( ( 𝑁 ‘ 𝑇 ) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 nmlno0.3 ⊢ 𝑁 = ( 𝑈 normOpOLD 𝑊 )
2 nmlno0.0 ⊢ 𝑍 = ( 𝑈 0op 𝑊 )
3 nmlno0.7 ⊢ 𝐿 = ( 𝑈 LnOp 𝑊 )
4 oveq1 ⊢ ( 𝑈 = if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) → ( 𝑈 LnOp 𝑊 ) = ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) LnOp 𝑊 ) )
5 3 4 eqtrid ⊢ ( 𝑈 = if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) → 𝐿 = ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) LnOp 𝑊 ) )
6 5 eleq2d ⊢ ( 𝑈 = if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) → ( 𝑇 ∈ 𝐿 ↔ 𝑇 ∈ ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) LnOp 𝑊 ) ) )
7 oveq1 ⊢ ( 𝑈 = if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) → ( 𝑈 normOpOLD 𝑊 ) = ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) normOpOLD 𝑊 ) )
8 1 7 eqtrid ⊢ ( 𝑈 = if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) → 𝑁 = ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) normOpOLD 𝑊 ) )
9 8 fveq1d ⊢ ( 𝑈 = if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) → ( 𝑁 ‘ 𝑇 ) = ( ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) normOpOLD 𝑊 ) ‘ 𝑇 ) )
10 9 eqeq1d ⊢ ( 𝑈 = if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) → ( ( 𝑁 ‘ 𝑇 ) = 0 ↔ ( ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) normOpOLD 𝑊 ) ‘ 𝑇 ) = 0 ) )
11 oveq1 ⊢ ( 𝑈 = if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) → ( 𝑈 0op 𝑊 ) = ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) 0op 𝑊 ) )
12 2 11 eqtrid ⊢ ( 𝑈 = if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) → 𝑍 = ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) 0op 𝑊 ) )
13 12 eqeq2d ⊢ ( 𝑈 = if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) → ( 𝑇 = 𝑍 ↔ 𝑇 = ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) 0op 𝑊 ) ) )
14 10 13 bibi12d ⊢ ( 𝑈 = if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) → ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑇 ) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍 ) ↔ ( ( ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) normOpOLD 𝑊 ) ‘ 𝑇 ) = 0 ↔ 𝑇 = ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) 0op 𝑊 ) ) ) )
15 6 14 imbi12d ⊢ ( 𝑈 = if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) → ( ( 𝑇 ∈ 𝐿 → ( ( 𝑁 ‘ 𝑇 ) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍 ) ) ↔ ( 𝑇 ∈ ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) LnOp 𝑊 ) → ( ( ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) normOpOLD 𝑊 ) ‘ 𝑇 ) = 0 ↔ 𝑇 = ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) 0op 𝑊 ) ) ) ) )
16 oveq2 ⊢ ( 𝑊 = if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) → ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) LnOp 𝑊 ) = ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) LnOp if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) ) )
17 16 eleq2d ⊢ ( 𝑊 = if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) → ( 𝑇 ∈ ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) LnOp 𝑊 ) ↔ 𝑇 ∈ ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) LnOp if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) ) ) )
18 oveq2 ⊢ ( 𝑊 = if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) → ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) normOpOLD 𝑊 ) = ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) normOpOLD if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) ) )
19 18 fveq1d ⊢ ( 𝑊 = if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) → ( ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) normOpOLD 𝑊 ) ‘ 𝑇 ) = ( ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) normOpOLD if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) ) ‘ 𝑇 ) )
20 19 eqeq1d ⊢ ( 𝑊 = if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) → ( ( ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) normOpOLD 𝑊 ) ‘ 𝑇 ) = 0 ↔ ( ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) normOpOLD if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) ) ‘ 𝑇 ) = 0 ) )
21 oveq2 ⊢ ( 𝑊 = if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) → ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) 0op 𝑊 ) = ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) 0op if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) ) )
22 21 eqeq2d ⊢ ( 𝑊 = if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) → ( 𝑇 = ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) 0op 𝑊 ) ↔ 𝑇 = ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) 0op if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) ) ) )
23 20 22 bibi12d ⊢ ( 𝑊 = if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) → ( ( ( ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) normOpOLD 𝑊 ) ‘ 𝑇 ) = 0 ↔ 𝑇 = ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) 0op 𝑊 ) ) ↔ ( ( ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) normOpOLD if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) ) ‘ 𝑇 ) = 0 ↔ 𝑇 = ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) 0op if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) ) ) ) )
24 17 23 imbi12d ⊢ ( 𝑊 = if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) → ( ( 𝑇 ∈ ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) LnOp 𝑊 ) → ( ( ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) normOpOLD 𝑊 ) ‘ 𝑇 ) = 0 ↔ 𝑇 = ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) 0op 𝑊 ) ) ) ↔ ( 𝑇 ∈ ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) LnOp if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) ) → ( ( ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) normOpOLD if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) ) ‘ 𝑇 ) = 0 ↔ 𝑇 = ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) 0op if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) ) ) ) ) )
25 eqid ⊢ ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) normOpOLD if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) ) = ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) normOpOLD if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) )
26 eqid ⊢ ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) 0op if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) ) = ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) 0op if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) )
27 eqid ⊢ ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) LnOp if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) ) = ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) LnOp if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) )
28 elimnvu ⊢ if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) ∈ NrmCVec
29 elimnvu ⊢ if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) ∈ NrmCVec
30 25 26 27 28 29 nmlno0i ⊢ ( 𝑇 ∈ ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) LnOp if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) ) → ( ( ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) normOpOLD if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) ) ‘ 𝑇 ) = 0 ↔ 𝑇 = ( if ( 𝑈 ∈ NrmCVec , 𝑈 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) 0op if ( 𝑊 ∈ NrmCVec , 𝑊 , ⟨ ⟨ + , · ⟩ , abs ⟩ ) ) ) )
31 15 24 30 dedth2h ⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ) → ( 𝑇 ∈ 𝐿 → ( ( 𝑁 ‘ 𝑇 ) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍 ) ) )
32 31 3impia ⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿 ) → ( ( 𝑁 ‘ 𝑇 ) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍 ) )