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Theorem modcyc2

Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by NM, 12-Nov-2008)

Ref Expression
Assertion modcyc2 ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 − ( 𝐵 · 𝑁 ) ) mod 𝐵 ) = ( 𝐴 mod 𝐵 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 recn ⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ )
2 rpcn ⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ )
3 zcn ⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ )
4 mulneg1 ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( - 𝑁 · 𝐵 ) = - ( 𝑁 · 𝐵 ) )
5 4 ancoms ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( - 𝑁 · 𝐵 ) = - ( 𝑁 · 𝐵 ) )
6 mulcom ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( 𝐵 · 𝑁 ) = ( 𝑁 · 𝐵 ) )
7 6 negeqd ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → - ( 𝐵 · 𝑁 ) = - ( 𝑁 · 𝐵 ) )
8 5 7 eqtr4d ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( - 𝑁 · 𝐵 ) = - ( 𝐵 · 𝑁 ) )
9 8 3adant1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( - 𝑁 · 𝐵 ) = - ( 𝐵 · 𝑁 ) )
10 9 oveq2d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 + ( - 𝑁 · 𝐵 ) ) = ( 𝐴 + - ( 𝐵 · 𝑁 ) ) )
11 mulcl ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( 𝐵 · 𝑁 ) ∈ ℂ )
12 negsub ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 · 𝑁 ) ∈ ℂ ) → ( 𝐴 + - ( 𝐵 · 𝑁 ) ) = ( 𝐴 − ( 𝐵 · 𝑁 ) ) )
13 11 12 sylan2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) ) → ( 𝐴 + - ( 𝐵 · 𝑁 ) ) = ( 𝐴 − ( 𝐵 · 𝑁 ) ) )
14 13 3impb ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 + - ( 𝐵 · 𝑁 ) ) = ( 𝐴 − ( 𝐵 · 𝑁 ) ) )
15 10 14 eqtr2d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 − ( 𝐵 · 𝑁 ) ) = ( 𝐴 + ( - 𝑁 · 𝐵 ) ) )
16 1 2 3 15 syl3an ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 − ( 𝐵 · 𝑁 ) ) = ( 𝐴 + ( - 𝑁 · 𝐵 ) ) )
17 16 oveq1d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 − ( 𝐵 · 𝑁 ) ) mod 𝐵 ) = ( ( 𝐴 + ( - 𝑁 · 𝐵 ) ) mod 𝐵 ) )
18 znegcl ⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → - 𝑁 ∈ ℤ )
19 modcyc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ - 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 + ( - 𝑁 · 𝐵 ) ) mod 𝐵 ) = ( 𝐴 mod 𝐵 ) )
20 18 19 syl3an3 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 + ( - 𝑁 · 𝐵 ) ) mod 𝐵 ) = ( 𝐴 mod 𝐵 ) )
21 17 20 eqtrd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 − ( 𝐵 · 𝑁 ) ) mod 𝐵 ) = ( 𝐴 mod 𝐵 ) )