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Theorem matvscacell

Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 7-Aug-2019)

Ref Expression
Hypotheses matplusgcell.a ⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 )
matplusgcell.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 )
matvscacell.k ⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝑅 )
matvscacell.v ⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝐴 )
matvscacell.t ⊢ × = ( .r ‘ 𝑅 )
Assertion matvscacell ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝐼 ( 𝑋 · 𝑌 ) 𝐽 ) = ( 𝑋 × ( 𝐼 𝑌 𝐽 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 matplusgcell.a ⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 )
2 matplusgcell.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 )
3 matvscacell.k ⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝑅 )
4 matvscacell.v ⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝐴 )
5 matvscacell.t ⊢ × = ( .r ‘ 𝑅 )
6 eqid ⊢ ( 𝑁 × 𝑁 ) = ( 𝑁 × 𝑁 )
7 1 2 3 4 5 6 matvsca2 ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 · 𝑌 ) = ( ( ( 𝑁 × 𝑁 ) × { 𝑋 } ) ∘f × 𝑌 ) )
8 7 oveqd ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐼 ( 𝑋 · 𝑌 ) 𝐽 ) = ( 𝐼 ( ( ( 𝑁 × 𝑁 ) × { 𝑋 } ) ∘f × 𝑌 ) 𝐽 ) )
9 8 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝐼 ( 𝑋 · 𝑌 ) 𝐽 ) = ( 𝐼 ( ( ( 𝑁 × 𝑁 ) × { 𝑋 } ) ∘f × 𝑌 ) 𝐽 ) )
10 df-ov ⊢ ( 𝐼 ( ( ( 𝑁 × 𝑁 ) × { 𝑋 } ) ∘f × 𝑌 ) 𝐽 ) = ( ( ( ( 𝑁 × 𝑁 ) × { 𝑋 } ) ∘f × 𝑌 ) ‘ ⟨ 𝐼 , 𝐽 ⟩ )
11 10 a1i ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝐼 ( ( ( 𝑁 × 𝑁 ) × { 𝑋 } ) ∘f × 𝑌 ) 𝐽 ) = ( ( ( ( 𝑁 × 𝑁 ) × { 𝑋 } ) ∘f × 𝑌 ) ‘ ⟨ 𝐼 , 𝐽 ⟩ ) )
12 opelxpi ⊢ ( ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) → ⟨ 𝐼 , 𝐽 ⟩ ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) )
13 12 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ⟨ 𝐼 , 𝐽 ⟩ ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) )
14 1 2 matrcl ⊢ ( 𝑌 ∈ 𝐵 → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V ) )
15 14 simpld ⊢ ( 𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin )
16 15 adantl ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝑁 ∈ Fin )
17 16 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ Fin )
18 xpfi ⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ) → ( 𝑁 × 𝑁 ) ∈ Fin )
19 17 17 18 syl2anc ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑁 × 𝑁 ) ∈ Fin )
20 simp2l ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐾 )
21 2 eleq2i ⊢ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) )
22 21 biimpi ⊢ ( 𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) )
23 22 adantl ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) )
24 23 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) )
25 simp1 ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
26 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 )
27 1 26 matbas2 ⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) = ( Base ‘ 𝐴 ) )
28 17 25 27 syl2anc ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) = ( Base ‘ 𝐴 ) )
29 24 28 eleqtrrd ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑌 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) )
30 elmapfn ⊢ ( 𝑌 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) → 𝑌 Fn ( 𝑁 × 𝑁 ) )
31 29 30 syl ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑌 Fn ( 𝑁 × 𝑁 ) )
32 df-ov ⊢ ( 𝐼 𝑌 𝐽 ) = ( 𝑌 ‘ ⟨ 𝐼 , 𝐽 ⟩ )
33 32 eqcomi ⊢ ( 𝑌 ‘ ⟨ 𝐼 , 𝐽 ⟩ ) = ( 𝐼 𝑌 𝐽 )
34 33 a1i ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) ∧ ⟨ 𝐼 , 𝐽 ⟩ ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ) → ( 𝑌 ‘ ⟨ 𝐼 , 𝐽 ⟩ ) = ( 𝐼 𝑌 𝐽 ) )
35 19 20 31 34 ofc1 ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) ∧ ⟨ 𝐼 , 𝐽 ⟩ ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ) → ( ( ( ( 𝑁 × 𝑁 ) × { 𝑋 } ) ∘f × 𝑌 ) ‘ ⟨ 𝐼 , 𝐽 ⟩ ) = ( 𝑋 × ( 𝐼 𝑌 𝐽 ) ) )
36 13 35 mpdan ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( ( ( ( 𝑁 × 𝑁 ) × { 𝑋 } ) ∘f × 𝑌 ) ‘ ⟨ 𝐼 , 𝐽 ⟩ ) = ( 𝑋 × ( 𝐼 𝑌 𝐽 ) ) )
37 9 11 36 3eqtrd ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝐼 ( 𝑋 · 𝑌 ) 𝐽 ) = ( 𝑋 × ( 𝐼 𝑌 𝐽 ) ) )