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Theorem le2add

Description: Adding both sides of two 'less than or equal to' relations. (Contributed by NM, 17-Apr-2005) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016)

Ref Expression
Assertion le2add ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷 ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 + 𝐷 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simpll ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
2 simprl ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → 𝐶 ∈ ℝ )
3 simplr ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
4 leadd1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 ≤ 𝐶 ↔ ( 𝐴 + 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 + 𝐵 ) ) )
5 1 2 3 4 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝐶 ↔ ( 𝐴 + 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 + 𝐵 ) ) )
6 simprr ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → 𝐷 ∈ ℝ )
7 leadd2 ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 ≤ 𝐷 ↔ ( 𝐶 + 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 + 𝐷 ) ) )
8 3 6 2 7 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐵 ≤ 𝐷 ↔ ( 𝐶 + 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 + 𝐷 ) ) )
9 5 8 anbi12d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 + 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 + 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 + 𝐷 ) ) ) )
10 1 3 readdcld ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ )
11 2 3 readdcld ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐶 + 𝐵 ) ∈ ℝ )
12 2 6 readdcld ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐶 + 𝐷 ) ∈ ℝ )
13 letr ⊢ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 + 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 + 𝐷 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 + 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 + 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 + 𝐷 ) ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 + 𝐷 ) ) )
14 10 11 12 13 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 + 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 + 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 + 𝐷 ) ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 + 𝐷 ) ) )
15 9 14 sylbid ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷 ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 + 𝐷 ) ) )