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Theorem ltleadd

Description: Adding both sides of two orderings. (Contributed by NM, 23-Dec-2007)

Ref Expression
Assertion ltleadd ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷 ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐶 + 𝐷 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ltadd1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝐶 ↔ ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐶 + 𝐵 ) ) )
2 1 3com23 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝐶 ↔ ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐶 + 𝐵 ) ) )
3 2 3expa ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝐶 ↔ ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐶 + 𝐵 ) ) )
4 3 adantrr ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐴 < 𝐶 ↔ ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐶 + 𝐵 ) ) )
5 leadd2 ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 ≤ 𝐷 ↔ ( 𝐶 + 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 + 𝐷 ) ) )
6 5 3com23 ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 ≤ 𝐷 ↔ ( 𝐶 + 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 + 𝐷 ) ) )
7 6 3expb ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐵 ≤ 𝐷 ↔ ( 𝐶 + 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 + 𝐷 ) ) )
8 7 adantll ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐵 ≤ 𝐷 ↔ ( 𝐶 + 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 + 𝐷 ) ) )
9 4 8 anbi12d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐶 + 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 + 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 + 𝐷 ) ) ) )
10 readdcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ )
11 10 adantr ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ )
12 readdcl ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + 𝐵 ) ∈ ℝ )
13 12 ancoms ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + 𝐵 ) ∈ ℝ )
14 13 ad2ant2lr ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐶 + 𝐵 ) ∈ ℝ )
15 readdcl ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + 𝐷 ) ∈ ℝ )
16 15 adantl ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐶 + 𝐷 ) ∈ ℝ )
17 ltletr ⊢ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 + 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 + 𝐷 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐶 + 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 + 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 + 𝐷 ) ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐶 + 𝐷 ) ) )
18 11 14 16 17 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐶 + 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 + 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 + 𝐷 ) ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐶 + 𝐷 ) ) )
19 9 18 sylbid ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷 ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐶 + 𝐷 ) ) )