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Theorem fsumsplitsnun

Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018) (Revised by AV, 17-Dec-2021)

Ref Expression
Assertion fsumsplitsnun ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 = ( Σ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋ 𝑍 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 df-nel ⊢ ( 𝑍 ∉ 𝐴 ↔ ¬ 𝑍 ∈ 𝐴 )
2 disjsn ⊢ ( ( 𝐴 ∩ { 𝑍 } ) = ∅ ↔ ¬ 𝑍 ∈ 𝐴 )
3 1 2 sylbb2 ⊢ ( 𝑍 ∉ 𝐴 → ( 𝐴 ∩ { 𝑍 } ) = ∅ )
4 3 adantl ⊢ ( ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) → ( 𝐴 ∩ { 𝑍 } ) = ∅ )
5 4 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 ∩ { 𝑍 } ) = ∅ )
6 eqidd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) = ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) )
7 snfi ⊢ { 𝑍 } ∈ Fin
8 unfi ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ { 𝑍 } ∈ Fin ) → ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) ∈ Fin )
9 7 8 mpan2 ⊢ ( 𝐴 ∈ Fin → ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) ∈ Fin )
10 9 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) ∈ Fin )
11 rspcsbela ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℤ )
12 11 expcom ⊢ ( ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) → ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℤ ) )
13 12 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) → ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℤ ) )
14 13 imp ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) ) → ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℤ )
15 14 zcnd ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) ) → ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℂ )
16 5 6 10 15 fsumsplit ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → Σ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵 = ( Σ 𝑥 ∈ 𝐴 ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵 + Σ 𝑥 ∈ { 𝑍 } ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) )
17 csbeq1a ⊢ ( 𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵 )
18 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑥 𝐵
19 nfcsb1v ⊢ Ⅎ 𝑘 ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵
20 17 18 19 cbvsum ⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 = Σ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵
21 17 18 19 cbvsum ⊢ Σ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ 𝑥 ∈ 𝐴 ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵
22 17 18 19 cbvsum ⊢ Σ 𝑘 ∈ { 𝑍 } 𝐵 = Σ 𝑥 ∈ { 𝑍 } ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵
23 21 22 oveq12i ⊢ ( Σ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ 𝑘 ∈ { 𝑍 } 𝐵 ) = ( Σ 𝑥 ∈ 𝐴 ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵 + Σ 𝑥 ∈ { 𝑍 } ⦋ 𝑥 / 𝑘 ⦌ 𝐵 )
24 16 20 23 3eqtr4g ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 = ( Σ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ 𝑘 ∈ { 𝑍 } 𝐵 ) )
25 simp2l ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → 𝑍 ∈ 𝑉 )
26 snidg ⊢ ( 𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑍 ∈ { 𝑍 } )
27 26 adantr ⊢ ( ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) → 𝑍 ∈ { 𝑍 } )
28 27 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → 𝑍 ∈ { 𝑍 } )
29 elun2 ⊢ ( 𝑍 ∈ { 𝑍 } → 𝑍 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) )
30 28 29 syl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → 𝑍 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) )
31 simp3 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ )
32 rspcsbela ⊢ ( ( 𝑍 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → ⦋ 𝑍 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℤ )
33 30 31 32 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → ⦋ 𝑍 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℤ )
34 33 zcnd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → ⦋ 𝑍 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℂ )
35 sumsns ⊢ ( ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ ⦋ 𝑍 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℂ ) → Σ 𝑘 ∈ { 𝑍 } 𝐵 = ⦋ 𝑍 / 𝑘 ⦌ 𝐵 )
36 25 34 35 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → Σ 𝑘 ∈ { 𝑍 } 𝐵 = ⦋ 𝑍 / 𝑘 ⦌ 𝐵 )
37 36 oveq2d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → ( Σ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ 𝑘 ∈ { 𝑍 } 𝐵 ) = ( Σ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋ 𝑍 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) )
38 24 37 eqtrd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 ∈ ℤ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 𝐴 ∪ { 𝑍 } ) 𝐵 = ( Σ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋ 𝑍 / 𝑘 ⦌ 𝐵 ) )