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Theorem elfzuzb

Description: Membership in a finite set of sequential integers in terms of sets of upper integers. (Contributed by NM, 18-Sep-2005) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015)

Ref Expression
Assertion elfzuzb ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 df-3an ⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) ↔ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
2 an6 ⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
3 df-3an ⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) )
4 anandir ⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ) )
5 an43 ⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) )
6 3 4 5 3bitri ⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) )
7 6 anbi1i ⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) ↔ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
8 1 2 7 3bitr4ri ⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
9 elfz2 ⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
10 eluz2 ⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ) )
11 eluz2 ⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) )
12 10 11 anbi12i ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
13 8 9 12 3bitr4i ⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) ) )