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Theorem elfzuzb

Description: Membership in a finite set of sequential integers in terms of sets of upper integers. (Contributed by NM, 18-Sep-2005) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015)

Ref Expression
Assertion elfzuzb 
|- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 df-3an 
 |-  ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
2 an6 
 |-  ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
3 df-3an 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) )
4 anandir 
 |-  ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) )
5 an43 
 |-  ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) )
6 3 4 5 3bitri 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) )
7 6 anbi1i 
 |-  ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
8 1 2 7 3bitr4ri 
 |-  ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) )
9 elfz2 
 |-  ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
10 eluz2 
 |-  ( K e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) )
11 eluz2 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) )
12 10 11 anbi12i 
 |-  ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) )
13 8 9 12 3bitr4i 
 |-  ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )