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Theorem elfzo

Description: Membership in a half-open finite set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015)

Ref Expression
Assertion elfzo ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 peano2zm ⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ )
2 elfz ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
3 1 2 syl3an3 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
4 fzoval ⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) = ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
5 4 eleq2d ⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ↔ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
6 5 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ↔ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
7 zltlem1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 < 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) )
8 7 3adant2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 < 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) )
9 8 anbi2d ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
10 3 6 9 3bitr4d ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) )