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Theorem eigvalcl

Description: An eigenvalue is a complex number. (Contributed by NM, 11-Mar-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion eigvalcl ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( ( eigval ‘ 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 eigvalval ⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( ( eigval ‘ 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) = ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ·ih 𝐴 ) / ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) )
2 eleigveccl ⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → 𝐴 ∈ ℋ )
3 ffvelcdm ⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ∈ ℋ )
4 hicl ⊢ ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ·ih 𝐴 ) ∈ ℂ )
5 3 4 sylancom ⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ·ih 𝐴 ) ∈ ℂ )
6 2 5 syldan ⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ·ih 𝐴 ) ∈ ℂ )
7 normcl ⊢ ( 𝐴 ∈ ℋ → ( normℎ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ )
8 7 recnd ⊢ ( 𝐴 ∈ ℋ → ( normℎ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ )
9 2 8 syl ⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( normℎ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ )
10 9 sqcld ⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ )
11 eleigvec ⊢ ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ → ( 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ↔ ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℂ ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) = ( 𝑥 ·ℎ 𝐴 ) ) ) )
12 11 biimpa ⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℂ ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) = ( 𝑥 ·ℎ 𝐴 ) ) )
13 sqne0 ⊢ ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ → ( ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ≠ 0 ↔ ( normℎ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) )
14 8 13 syl ⊢ ( 𝐴 ∈ ℋ → ( ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ≠ 0 ↔ ( normℎ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) )
15 normne0 ⊢ ( 𝐴 ∈ ℋ → ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0ℎ ) )
16 14 15 bitr2d ⊢ ( 𝐴 ∈ ℋ → ( 𝐴 ≠ 0ℎ ↔ ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ≠ 0 ) )
17 16 biimpa ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ≠ 0 )
18 17 3adant3 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℂ ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) = ( 𝑥 ·ℎ 𝐴 ) ) → ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ≠ 0 )
19 12 18 syl ⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ≠ 0 )
20 6 10 19 divcld ⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ·ih 𝐴 ) / ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ )
21 1 20 eqeltrd ⊢ ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ( eigvec ‘ 𝑇 ) ) → ( ( eigval ‘ 𝑇 ) ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ )