cdlemg46

Description: Part of proof of Lemma G of Crawley p. 116, seventh line of third paragraph on p. 117: "hf and f have different traces." (Contributed by NM, 5-Jun-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemg46.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdlemg46.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemg46.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemg46.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
Assertion	cdlemg46	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemg46.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdlemg46.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
3		cdlemg46.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4		cdlemg46.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
5		simpl1l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
6		simp1	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
7		simp2r	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ℎ ∈ 𝑇 )
8		simp32	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
9		eqid	⊢ ( Atoms ‘ 𝐾 ) = ( Atoms ‘ 𝐾 )
10	1 9 2 3 4	trlnidat	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝑅 ‘ ℎ ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) )
11	6 7 8 10	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ℎ ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) )
12	11	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑅 ‘ ℎ ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) )
13		simp2l	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
14		simp31	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
15	1 9 2 3 4	trlnidat	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) )
16	6 13 14 15	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) )
17	16	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) )
18		simpl33	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
19		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) )
20	2 3	ltrnco	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( ℎ ∘ 𝐹 ) ∈ 𝑇 )
21	6 7 13 20	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ℎ ∘ 𝐹 ) ∈ 𝑇 )
22	2 3	ltrncnv	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ^◡ 𝐹 ∈ 𝑇 )
23	6 13 22	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ^◡ 𝐹 ∈ 𝑇 )
24		eqid	⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 )
25		eqid	⊢ ( join ‘ 𝐾 ) = ( join ‘ 𝐾 )
26	24 25 2 3 4	trlco	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ∈ 𝑇 ∧ ^◡ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( ( ℎ ∘ 𝐹 ) ∘ ^◡ 𝐹 ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ ^◡ 𝐹 ) ) )
27	6 21 23 26	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( ( ℎ ∘ 𝐹 ) ∘ ^◡ 𝐹 ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ ^◡ 𝐹 ) ) )
28		coass	⊢ ( ( ℎ ∘ 𝐹 ) ∘ ^◡ 𝐹 ) = ( ℎ ∘ ( 𝐹 ∘ ^◡ 𝐹 ) )
29	1 2 3	ltrn1o	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
30	6 13 29	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
31		f1ococnv2	⊢ ( 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 → ( 𝐹 ∘ ^◡ 𝐹 ) = ( I ↾ 𝐵 ) )
32	30 31	syl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝐹 ∘ ^◡ 𝐹 ) = ( I ↾ 𝐵 ) )
33	32	coeq2d	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ℎ ∘ ( 𝐹 ∘ ^◡ 𝐹 ) ) = ( ℎ ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
34	1 2 3	ltrn1o	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) → ℎ : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
35	6 7 34	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ℎ : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
36		f1of	⊢ ( ℎ : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 → ℎ : 𝐵 ⟶ 𝐵 )
37		fcoi1	⊢ ( ℎ : 𝐵 ⟶ 𝐵 → ( ℎ ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = ℎ )
38	35 36 37	3syl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ℎ ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = ℎ )
39	33 38	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ℎ ∘ ( 𝐹 ∘ ^◡ 𝐹 ) ) = ℎ )
40	28 39	eqtrid	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ( ℎ ∘ 𝐹 ) ∘ ^◡ 𝐹 ) = ℎ )
41	40	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( ( ℎ ∘ 𝐹 ) ∘ ^◡ 𝐹 ) ) = ( 𝑅 ‘ ℎ ) )
42	2 3 4	trlcnv	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ^◡ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
43	6 13 42	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ^◡ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
44	43	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ ^◡ 𝐹 ) ) = ( ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
45	27 41 44	3brtr3d	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ℎ ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
46	45	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑅 ‘ ℎ ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
47	24 25 9	hlatlej2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
48	5 19 17 47	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
49	5	hllatd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
50	1 9	atbase	⊢ ( ( 𝑅 ‘ ℎ ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) → ( 𝑅 ‘ ℎ ) ∈ 𝐵 )
51	12 50	syl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑅 ‘ ℎ ) ∈ 𝐵 )
52	1 9	atbase	⊢ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐵 )
53	17 52	syl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐵 )
54	1 25 9	hlatjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 )
55	5 19 17 54	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 )
56	1 24 25	latjle12	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑅 ‘ ℎ ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑅 ‘ ℎ ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ↔ ( ( 𝑅 ‘ ℎ ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) )
57	49 51 53 55 56	syl13anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑅 ‘ ℎ ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ↔ ( ( 𝑅 ‘ ℎ ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) )
58	46 48 57	mpbi2and	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑅 ‘ ℎ ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
59	24 25 9	2atjlej	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑅 ‘ ℎ ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ℎ ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
60	5 12 17 18 19 17 58 59	syl133anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
61		nelne2	⊢ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) )
62	61	necomd	⊢ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
63	16 62	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
64	60 63	pm2.61dan	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )

Metamath Proof Explorer

Theorem cdlemg46

Proof