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Theorem cdlemg47

Description: Part of proof of Lemma G of Crawley p. 116, ninth line of third paragraph on p. 117: "we conclude that gf = fg." (Contributed by NM, 5-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg46.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemg46.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemg46.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg46.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
Assertion cdlemg47 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg46.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemg46.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
3 cdlemg46.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4 cdlemg46.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
5 simp11 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
6 simp2l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ℎ ∈ 𝑇 )
7 simp12 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
8 2 3 ltrnco ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( ℎ ∘ 𝐹 ) ∈ 𝑇 )
9 5 6 7 8 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ℎ ∘ 𝐹 ) ∈ 𝑇 )
10 simp13 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
11 simp3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
12 1 2 3 4 cdlemg46 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
13 5 7 6 11 12 syl121anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
14 simp2r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
15 13 14 neeqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
16 2 3 4 cdlemg44 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝐹 ) ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( ( ℎ ∘ 𝐹 ) ∘ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) )
17 5 9 10 15 16 syl121anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ( ℎ ∘ 𝐹 ) ∘ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) ) )
18 coass ⊢ ( ( 𝐺 ∘ ℎ ) ∘ 𝐹 ) = ( 𝐺 ∘ ( ℎ ∘ 𝐹 ) )
19 17 18 eqtr4di ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ( ℎ ∘ 𝐹 ) ∘ 𝐺 ) = ( ( 𝐺 ∘ ℎ ) ∘ 𝐹 ) )
20 simp33 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
21 20 14 neeqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
22 2 3 4 cdlemg44 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( ℎ ∘ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∘ ℎ ) )
23 5 6 10 21 22 syl121anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ℎ ∘ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∘ ℎ ) )
24 23 coeq1d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ( ℎ ∘ 𝐺 ) ∘ 𝐹 ) = ( ( 𝐺 ∘ ℎ ) ∘ 𝐹 ) )
25 19 24 eqtr4d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ( ℎ ∘ 𝐹 ) ∘ 𝐺 ) = ( ( ℎ ∘ 𝐺 ) ∘ 𝐹 ) )
26 coass ⊢ ( ( ℎ ∘ 𝐹 ) ∘ 𝐺 ) = ( ℎ ∘ ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) )
27 coass ⊢ ( ( ℎ ∘ 𝐺 ) ∘ 𝐹 ) = ( ℎ ∘ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) )
28 25 26 27 3eqtr3g ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ℎ ∘ ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) ) = ( ℎ ∘ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ) )
29 28 coeq2d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ◡ ℎ ∘ ( ℎ ∘ ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) ) ) = ( ◡ ℎ ∘ ( ℎ ∘ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ) ) )
30 coass ⊢ ( ( ◡ ℎ ∘ ℎ ) ∘ ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) ) = ( ◡ ℎ ∘ ( ℎ ∘ ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) ) )
31 1 2 3 ltrn1o ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) → ℎ : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
32 5 6 31 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ℎ : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
33 f1ococnv1 ⊢ ( ℎ : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 → ( ◡ ℎ ∘ ℎ ) = ( I ↾ 𝐵 ) )
34 32 33 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ◡ ℎ ∘ ℎ ) = ( I ↾ 𝐵 ) )
35 34 coeq1d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ( ◡ ℎ ∘ ℎ ) ∘ ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) ) = ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) ) )
36 30 35 eqtr3id ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ◡ ℎ ∘ ( ℎ ∘ ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) ) ) = ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) ) )
37 2 3 ltrnco ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) ∈ 𝑇 )
38 5 7 10 37 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) ∈ 𝑇 )
39 1 2 3 ltrn1o ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) ∈ 𝑇 ) → ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
40 5 38 39 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
41 f1of ⊢ ( ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 → ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) : 𝐵 ⟶ 𝐵 )
42 fcoi2 ⊢ ( ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) : 𝐵 ⟶ 𝐵 → ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) ) = ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) )
43 40 41 42 3syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) ) = ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) )
44 36 43 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ◡ ℎ ∘ ( ℎ ∘ ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) ) ) = ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) )
45 coass ⊢ ( ( ◡ ℎ ∘ ℎ ) ∘ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ) = ( ◡ ℎ ∘ ( ℎ ∘ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ) )
46 34 coeq1d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ( ◡ ℎ ∘ ℎ ) ∘ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ) = ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ) )
47 45 46 eqtr3id ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ◡ ℎ ∘ ( ℎ ∘ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ) ) = ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ) )
48 2 3 ltrnco ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ∈ 𝑇 )
49 5 10 7 48 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ∈ 𝑇 )
50 1 2 3 ltrn1o ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ∈ 𝑇 ) → ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
51 5 49 50 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
52 f1of ⊢ ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 → ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) : 𝐵 ⟶ 𝐵 )
53 fcoi2 ⊢ ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) : 𝐵 ⟶ 𝐵 → ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ) = ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) )
54 51 52 53 3syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ) = ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) )
55 47 54 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ◡ ℎ ∘ ( ℎ ∘ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ) ) = ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) )
56 29 44 55 3eqtr3d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) )