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Theorem cdlemf2

Description: Part of Lemma F in Crawley p. 116. (Contributed by NM, 12-Apr-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemf1.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemf1.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemf1.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemf1.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemf2.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
Assertion cdlemf2 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemf1.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdlemf1.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdlemf1.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 cdlemf1.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
5 cdlemf2.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
6 1 3 4 lhpexnle ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 )
7 6 adantr ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 )
8 1 2 3 4 cdlemf1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) )
9 simpr1r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 )
10 simpr32 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) → ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 )
11 simpr33 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) → 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) )
12 simplrr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) → 𝑈 ≤ 𝑊 )
13 hllat ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat )
14 13 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
15 simplrl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) → 𝑈 ∈ 𝐴 )
16 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
17 16 3 atbase ⊢ ( 𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
18 15 17 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) → 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19 simplll ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
20 simpr1l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) → 𝑝 ∈ 𝐴 )
21 simpr2 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) → 𝑞 ∈ 𝐴 )
22 16 2 3 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
23 19 20 21 22 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) → ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
24 16 4 lhpbase ⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
25 24 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
26 16 1 5 latlem12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ↔ 𝑈 ≤ ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ) )
27 14 18 23 25 26 syl13anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) → ( ( 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ↔ 𝑈 ≤ ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ) )
28 11 12 27 mpbi2and ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) → 𝑈 ≤ ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) )
29 hlatl ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat )
30 29 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ AtLat )
31 simpll ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
32 simpr31 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) → 𝑝 ≠ 𝑞 )
33 1 2 5 3 4 lhpat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞 ) ) → ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐴 )
34 31 20 9 21 32 33 syl122anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) → ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐴 )
35 1 3 atcmp ⊢ ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑈 ≤ ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ↔ 𝑈 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ) )
36 30 15 34 35 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) → ( 𝑈 ≤ ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ↔ 𝑈 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ) )
37 28 36 mpbid ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) → 𝑈 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) )
38 9 10 37 jca31 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ) )
39 38 3exp2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) → ( 𝑞 ∈ 𝐴 → ( ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) → ( ( ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ) ) )
40 39 3impia ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑞 ∈ 𝐴 → ( ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) → ( ( ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ) )
41 40 reximdvai ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) → ( ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ) ) )
42 8 41 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ) )
43 42 3expia ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ) ) )
44 43 expd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑝 ∈ 𝐴 → ( ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ) )
45 44 reximdvai ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ) ) )
46 7 45 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ) )