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Theorem cdleme22d

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113, 3rd paragraph, 9th line on p. 115. (Contributed by NM, 4-Dec-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdleme22.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdleme22.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdleme22.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdleme22.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdleme22.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
Assertion cdleme22d ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑉 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme22.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdleme22.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdleme22.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdleme22.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdleme22.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 simp3r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) )
7 simp1l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
8 simp22l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑇 ∈ 𝐴 )
9 simp23l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑉 ∈ 𝐴 )
10 1 2 4 hlatlej1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) )
11 7 8 9 10 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) )
12 7 hllatd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
13 simp21l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
14 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
15 14 4 atbase ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16 13 15 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
17 14 4 atbase ⊢ ( 𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
18 8 17 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19 14 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
20 7 8 9 19 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
21 14 1 2 latjle12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ↔ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) )
22 12 16 18 20 21 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( ( 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ↔ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) )
23 6 11 22 mpbi2and ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) )
24 14 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
25 7 13 8 24 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
26 simp1r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
27 14 5 lhpbase ⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
28 26 27 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
29 14 1 3 latmlem1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ∧ 𝑊 ) ) )
30 12 25 20 28 29 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ∧ 𝑊 ) ) )
31 23 30 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ∧ 𝑊 ) )
32 simp1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
33 simp22 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) )
34 eqid ⊢ ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 )
35 1 3 34 4 5 lhpmat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑇 ∧ 𝑊 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
36 32 33 35 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( 𝑇 ∧ 𝑊 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
37 36 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( ( 𝑇 ∧ 𝑊 ) ∨ 𝑉 ) = ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ∨ 𝑉 ) )
38 simp23r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑉 ≤ 𝑊 )
39 14 1 2 3 4 atmod4i1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) → ( ( 𝑇 ∧ 𝑊 ) ∨ 𝑉 ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ∧ 𝑊 ) )
40 7 9 18 28 38 39 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( ( 𝑇 ∧ 𝑊 ) ∨ 𝑉 ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ∧ 𝑊 ) )
41 hlol ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL )
42 7 41 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝐾 ∈ OL )
43 14 4 atbase ⊢ ( 𝑉 ∈ 𝐴 → 𝑉 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
44 9 43 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑉 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
45 14 2 34 olj02 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑉 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ∨ 𝑉 ) = 𝑉 )
46 42 44 45 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ∨ 𝑉 ) = 𝑉 )
47 37 40 46 3eqtr3d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ∧ 𝑊 ) = 𝑉 )
48 31 47 breqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ≤ 𝑉 )
49 hlatl ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat )
50 7 49 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝐾 ∈ AtLat )
51 simp21r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 )
52 simp3l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑆 ≠ 𝑇 )
53 1 2 3 4 5 lhpat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐴 )
54 7 26 13 51 8 52 53 syl222anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐴 )
55 1 4 atcmp ⊢ ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ≤ 𝑉 ↔ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) = 𝑉 ) )
56 50 54 9 55 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) ≤ 𝑉 ↔ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) = 𝑉 ) )
57 48 56 mpbid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) = 𝑉 )
58 57 eqcomd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑉 ) ) ) → 𝑉 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑊 ) )