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Theorem trljco

Description: Trace joined with trace of composition. (Contributed by NM, 15-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses trljco.j 
|- .\/ = ( join ` K )
trljco.h 
|- H = ( LHyp ` K )
trljco.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
trljco.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
Assertion trljco 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( F o. G ) ) ) = ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 trljco.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
2 trljco.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
3 trljco.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
4 trljco.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
5 coeq1 
 |-  ( F = ( _I |` ( Base ` K ) ) -> ( F o. G ) = ( ( _I |` ( Base ` K ) ) o. G ) )
6 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
7 6 2 3 ltrn1o 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> G : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
8 7 3adant2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> G : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
9 f1of 
 |-  ( G : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) -> G : ( Base ` K ) --> ( Base ` K ) )
10 fcoi2 
 |-  ( G : ( Base ` K ) --> ( Base ` K ) -> ( ( _I |` ( Base ` K ) ) o. G ) = G )
11 8 9 10 3syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( ( _I |` ( Base ` K ) ) o. G ) = G )
12 5 11 sylan9eqr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ F = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> ( F o. G ) = G )
13 12 fveq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ F = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> ( R ` ( F o. G ) ) = ( R ` G ) )
14 13 oveq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ F = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( F o. G ) ) ) = ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) )
15 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> K e. HL )
16 15 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> K e. Lat )
17 6 2 3 4 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( R ` F ) e. ( Base ` K ) )
18 17 3adant3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( R ` F ) e. ( Base ` K ) )
19 6 1 latjidm 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( R ` F ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` F ) ) = ( R ` F ) )
20 16 18 19 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` F ) ) = ( R ` F ) )
21 hlol 
 |-  ( K e. HL -> K e. OL )
22 15 21 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> K e. OL )
23 eqid 
 |-  ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
24 6 1 23 olj01 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( R ` F ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( 0. ` K ) ) = ( R ` F ) )
25 22 18 24 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( 0. ` K ) ) = ( R ` F ) )
26 20 25 eqtr4d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` F ) ) = ( ( R ` F ) .\/ ( 0. ` K ) ) )
27 26 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ G = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` F ) ) = ( ( R ` F ) .\/ ( 0. ` K ) ) )
28 coeq2 
 |-  ( G = ( _I |` ( Base ` K ) ) -> ( F o. G ) = ( F o. ( _I |` ( Base ` K ) ) ) )
29 6 2 3 ltrn1o 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
30 29 3adant3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
31 f1of 
 |-  ( F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) -> F : ( Base ` K ) --> ( Base ` K ) )
32 fcoi1 
 |-  ( F : ( Base ` K ) --> ( Base ` K ) -> ( F o. ( _I |` ( Base ` K ) ) ) = F )
33 30 31 32 3syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( F o. ( _I |` ( Base ` K ) ) ) = F )
34 28 33 sylan9eqr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ G = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> ( F o. G ) = F )
35 34 fveq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ G = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> ( R ` ( F o. G ) ) = ( R ` F ) )
36 35 oveq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ G = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( F o. G ) ) ) = ( ( R ` F ) .\/ ( R ` F ) ) )
37 6 23 2 3 4 trlid0b 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> ( G = ( _I |` ( Base ` K ) ) <-> ( R ` G ) = ( 0. ` K ) ) )
38 37 3adant2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( G = ( _I |` ( Base ` K ) ) <-> ( R ` G ) = ( 0. ` K ) ) )
39 38 biimpa 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ G = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> ( R ` G ) = ( 0. ` K ) )
40 39 oveq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ G = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) = ( ( R ` F ) .\/ ( 0. ` K ) ) )
41 27 36 40 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ G = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( F o. G ) ) ) = ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) )
42 eqid 
 |-  ( le ` K ) = ( le ` K )
43 16 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) -> K e. Lat )
44 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
45 2 3 ltrnco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( F o. G ) e. T )
46 6 2 3 4 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F o. G ) e. T ) -> ( R ` ( F o. G ) ) e. ( Base ` K ) )
47 44 45 46 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( R ` ( F o. G ) ) e. ( Base ` K ) )
48 6 1 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( R ` F ) e. ( Base ` K ) /\ ( R ` ( F o. G ) ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( F o. G ) ) ) e. ( Base ` K ) )
49 16 18 47 48 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( F o. G ) ) ) e. ( Base ` K ) )
50 49 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( F o. G ) ) ) e. ( Base ` K ) )
51 6 2 3 4 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> ( R ` G ) e. ( Base ` K ) )
52 51 3adant2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( R ` G ) e. ( Base ` K ) )
53 6 1 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( R ` F ) e. ( Base ` K ) /\ ( R ` G ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) e. ( Base ` K ) )
54 16 18 52 53 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) e. ( Base ` K ) )
55 54 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) e. ( Base ` K ) )
56 6 42 1 latlej1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( R ` F ) e. ( Base ` K ) /\ ( R ` G ) e. ( Base ` K ) ) -> ( R ` F ) ( le ` K ) ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) )
57 16 18 52 56 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( R ` F ) ( le ` K ) ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) )
58 42 1 2 3 4 trlco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( R ` ( F o. G ) ) ( le ` K ) ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) )
59 6 42 1 latjle12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ( R ` F ) e. ( Base ` K ) /\ ( R ` ( F o. G ) ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( ( R ` F ) ( le ` K ) ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) /\ ( R ` ( F o. G ) ) ( le ` K ) ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) ) <-> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( F o. G ) ) ) ( le ` K ) ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) ) )
60 16 18 47 54 59 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( ( ( R ` F ) ( le ` K ) ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) /\ ( R ` ( F o. G ) ) ( le ` K ) ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) ) <-> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( F o. G ) ) ) ( le ` K ) ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) ) )
61 57 58 60 mpbi2and 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( F o. G ) ) ) ( le ` K ) ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) )
62 61 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( F o. G ) ) ) ( le ` K ) ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) )
63 simpr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) -> ( R ` F ) = ( R ` G ) )
64 63 oveq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` F ) ) = ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) )
65 6 42 1 latlej1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( R ` F ) e. ( Base ` K ) /\ ( R ` ( F o. G ) ) e. ( Base ` K ) ) -> ( R ` F ) ( le ` K ) ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( F o. G ) ) ) )
66 16 18 47 65 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( R ` F ) ( le ` K ) ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( F o. G ) ) ) )
67 20 66 eqbrtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` F ) ) ( le ` K ) ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( F o. G ) ) ) )
68 67 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` F ) ) ( le ` K ) ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( F o. G ) ) ) )
69 64 68 eqbrtrrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) ( le ` K ) ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( F o. G ) ) ) )
70 6 42 43 50 55 62 69 latasymd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( F o. G ) ) ) = ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) )
71 61 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ G =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( F o. G ) ) ) ( le ` K ) ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) )
72 simpl1l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ G =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> K e. HL )
73 simpl1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ G =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
74 simpl2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ G =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> F e. T )
75 simpr1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ G =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> F =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) )
76 eqid 
 |-  ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
77 6 76 2 3 4 trlnidat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ F =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) )
78 73 74 75 77 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ G =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) )
79 simpl3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ G =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> G e. T )
80 74 79 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ G =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( F e. T /\ G e. T ) )
81 simpr3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ G =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` F ) =/= ( R ` G ) )
82 76 2 3 4 trlcoat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) -> ( R ` ( F o. G ) ) e. ( Atoms ` K ) )
83 73 80 81 82 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ G =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` ( F o. G ) ) e. ( Atoms ` K ) )
84 simpr2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ G =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> G =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) )
85 6 2 3 4 trlcone 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( R ` F ) =/= ( R ` G ) /\ G =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) -> ( R ` F ) =/= ( R ` ( F o. G ) ) )
86 73 80 81 84 85 syl112anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ G =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` F ) =/= ( R ` ( F o. G ) ) )
87 6 76 2 3 4 trlnidat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ G =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> ( R ` G ) e. ( Atoms ` K ) )
88 73 79 84 87 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ G =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` G ) e. ( Atoms ` K ) )
89 42 1 76 ps-1 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) /\ ( R ` ( F o. G ) ) e. ( Atoms ` K ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` ( F o. G ) ) ) /\ ( ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) /\ ( R ` G ) e. ( Atoms ` K ) ) ) -> ( ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( F o. G ) ) ) ( le ` K ) ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) <-> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( F o. G ) ) ) = ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) ) )
90 72 78 83 86 78 88 89 syl132anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ G =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( F o. G ) ) ) ( le ` K ) ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) <-> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( F o. G ) ) ) = ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) ) )
91 71 90 mpbid 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ G =/= ( _I |` ( Base ` K ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( F o. G ) ) ) = ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) )
92 14 41 70 91 pm2.61da3ne 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( ( R ` F ) .\/ ( R ` ( F o. G ) ) ) = ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) )