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Theorem ltrnco

Description: The composition of two translations is a translation. Part of proof of Lemma G of Crawley p. 116, line 15 on p. 117. (Contributed by NM, 31-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses ltrnco.h 
|- H = ( LHyp ` K )
ltrnco.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
Assertion ltrnco 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( F o. G ) e. T )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ltrnco.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 ltrnco.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
4 eqid 
 |-  ( ( LDil ` K ) ` W ) = ( ( LDil ` K ) ` W )
5 1 4 2 ltrnldil 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F e. ( ( LDil ` K ) ` W ) )
6 5 3adant3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> F e. ( ( LDil ` K ) ` W ) )
7 1 4 2 ltrnldil 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> G e. ( ( LDil ` K ) ` W ) )
8 7 3adant2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> G e. ( ( LDil ` K ) ` W ) )
9 1 4 ldilco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. ( ( LDil ` K ) ` W ) /\ G e. ( ( LDil ` K ) ` W ) ) -> ( F o. G ) e. ( ( LDil ` K ) ` W ) )
10 3 6 8 9 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( F o. G ) e. ( ( LDil ` K ) ` W ) )
11 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
12 simp2l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> p e. ( Atoms ` K ) )
13 simp3l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> -. p ( le ` K ) W )
14 12 13 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p ( le ` K ) W ) )
15 simp2r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> q e. ( Atoms ` K ) )
16 simp3r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> -. q ( le ` K ) W )
17 15 16 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( q e. ( Atoms ` K ) /\ -. q ( le ` K ) W ) )
18 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> F e. T )
19 simp13 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> G e. T )
20 eqid 
 |-  ( le ` K ) = ( le ` K )
21 eqid 
 |-  ( join ` K ) = ( join ` K )
22 eqid 
 |-  ( meet ` K ) = ( meet ` K )
23 eqid 
 |-  ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
24 20 21 22 23 1 2 cdlemg41 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p ( le ` K ) W ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ -. q ( le ` K ) W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( p ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` p ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( q ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` q ) ) ( meet ` K ) W ) )
25 11 14 17 18 19 24 syl122anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( ( p ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` p ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( q ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` q ) ) ( meet ` K ) W ) )
26 25 3exp 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) -> ( ( p ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` p ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( q ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` q ) ) ( meet ` K ) W ) ) ) )
27 26 ralrimivv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> A. p e. ( Atoms ` K ) A. q e. ( Atoms ` K ) ( ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) -> ( ( p ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` p ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( q ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` q ) ) ( meet ` K ) W ) ) )
28 20 21 22 23 1 4 2 isltrn 
 |-  ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( F o. G ) e. T <-> ( ( F o. G ) e. ( ( LDil ` K ) ` W ) /\ A. p e. ( Atoms ` K ) A. q e. ( Atoms ` K ) ( ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) -> ( ( p ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` p ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( q ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` q ) ) ( meet ` K ) W ) ) ) ) )
29 28 3ad2ant1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( ( F o. G ) e. T <-> ( ( F o. G ) e. ( ( LDil ` K ) ` W ) /\ A. p e. ( Atoms ` K ) A. q e. ( Atoms ` K ) ( ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) -> ( ( p ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` p ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( q ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` q ) ) ( meet ` K ) W ) ) ) ) )
30 10 27 29 mpbir2and 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( F o. G ) e. T )