| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
smndex1ibas.m |
|- M = ( EndoFMnd ` NN0 ) |
| 2 |
|
smndex1ibas.n |
|- N e. NN |
| 3 |
|
smndex1ibas.i |
|- I = ( x e. NN0 |-> ( x mod N ) ) |
| 4 |
|
nn0re |
|- ( y e. NN0 -> y e. RR ) |
| 5 |
|
nnrp |
|- ( N e. NN -> N e. RR+ ) |
| 6 |
2 5
|
ax-mp |
|- N e. RR+ |
| 7 |
|
modabs2 |
|- ( ( y e. RR /\ N e. RR+ ) -> ( ( y mod N ) mod N ) = ( y mod N ) ) |
| 8 |
4 6 7
|
sylancl |
|- ( y e. NN0 -> ( ( y mod N ) mod N ) = ( y mod N ) ) |
| 9 |
8
|
eqcomd |
|- ( y e. NN0 -> ( y mod N ) = ( ( y mod N ) mod N ) ) |
| 10 |
9
|
mpteq2ia |
|- ( y e. NN0 |-> ( y mod N ) ) = ( y e. NN0 |-> ( ( y mod N ) mod N ) ) |
| 11 |
|
oveq1 |
|- ( x = y -> ( x mod N ) = ( y mod N ) ) |
| 12 |
11
|
cbvmptv |
|- ( x e. NN0 |-> ( x mod N ) ) = ( y e. NN0 |-> ( y mod N ) ) |
| 13 |
3 12
|
eqtri |
|- I = ( y e. NN0 |-> ( y mod N ) ) |
| 14 |
|
nn0z |
|- ( y e. NN0 -> y e. ZZ ) |
| 15 |
14
|
anim2i |
|- ( ( N e. NN /\ y e. NN0 ) -> ( N e. NN /\ y e. ZZ ) ) |
| 16 |
15
|
ancomd |
|- ( ( N e. NN /\ y e. NN0 ) -> ( y e. ZZ /\ N e. NN ) ) |
| 17 |
|
zmodcl |
|- ( ( y e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( y mod N ) e. NN0 ) |
| 18 |
16 17
|
syl |
|- ( ( N e. NN /\ y e. NN0 ) -> ( y mod N ) e. NN0 ) |
| 19 |
13
|
a1i |
|- ( N e. NN -> I = ( y e. NN0 |-> ( y mod N ) ) ) |
| 20 |
3
|
a1i |
|- ( N e. NN -> I = ( x e. NN0 |-> ( x mod N ) ) ) |
| 21 |
|
oveq1 |
|- ( x = ( y mod N ) -> ( x mod N ) = ( ( y mod N ) mod N ) ) |
| 22 |
18 19 20 21
|
fmptco |
|- ( N e. NN -> ( I o. I ) = ( y e. NN0 |-> ( ( y mod N ) mod N ) ) ) |
| 23 |
2 22
|
ax-mp |
|- ( I o. I ) = ( y e. NN0 |-> ( ( y mod N ) mod N ) ) |
| 24 |
10 13 23
|
3eqtr4ri |
|- ( I o. I ) = I |