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Theorem replem

Description: A lemma for variants of the axiom of replacement: if we can form the set of images of the functional relation, then we can also form a set containing all its images. The converse requires the axiom of separation. (Contributed by BJ, 5-Apr-2026)

Ref Expression
Assertion replem 
|- ( ( A. x e. z E. y ph /\ E. w A. y ( y e. w <-> E. x e. z ph ) ) -> E. w A. x e. z E. y e. w ph )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 biimpr 
 |-  ( ( y e. w <-> E. x e. z ph ) -> ( E. x e. z ph -> y e. w ) )
2 r19.23v 
 |-  ( A. x e. z ( ph -> y e. w ) <-> ( E. x e. z ph -> y e. w ) )
3 2 biimpri 
 |-  ( ( E. x e. z ph -> y e. w ) -> A. x e. z ( ph -> y e. w ) )
4 ancr 
 |-  ( ( ph -> y e. w ) -> ( ph -> ( y e. w /\ ph ) ) )
5 4 ralimi 
 |-  ( A. x e. z ( ph -> y e. w ) -> A. x e. z ( ph -> ( y e. w /\ ph ) ) )
6 1 3 5 3syl 
 |-  ( ( y e. w <-> E. x e. z ph ) -> A. x e. z ( ph -> ( y e. w /\ ph ) ) )
7 6 alimi 
 |-  ( A. y ( y e. w <-> E. x e. z ph ) -> A. y A. x e. z ( ph -> ( y e. w /\ ph ) ) )
8 ralcom4 
 |-  ( A. x e. z A. y ( ph -> ( y e. w /\ ph ) ) <-> A. y A. x e. z ( ph -> ( y e. w /\ ph ) ) )
9 8 biimpri 
 |-  ( A. y A. x e. z ( ph -> ( y e. w /\ ph ) ) -> A. x e. z A. y ( ph -> ( y e. w /\ ph ) ) )
10 exim 
 |-  ( A. y ( ph -> ( y e. w /\ ph ) ) -> ( E. y ph -> E. y ( y e. w /\ ph ) ) )
11 df-rex 
 |-  ( E. y e. w ph <-> E. y ( y e. w /\ ph ) )
12 10 11 imbitrrdi 
 |-  ( A. y ( ph -> ( y e. w /\ ph ) ) -> ( E. y ph -> E. y e. w ph ) )
13 12 ralimi 
 |-  ( A. x e. z A. y ( ph -> ( y e. w /\ ph ) ) -> A. x e. z ( E. y ph -> E. y e. w ph ) )
14 7 9 13 3syl 
 |-  ( A. y ( y e. w <-> E. x e. z ph ) -> A. x e. z ( E. y ph -> E. y e. w ph ) )
15 pm2.27 
 |-  ( E. y ph -> ( ( E. y ph -> E. y e. w ph ) -> E. y e. w ph ) )
16 15 ral2imi 
 |-  ( A. x e. z E. y ph -> ( A. x e. z ( E. y ph -> E. y e. w ph ) -> A. x e. z E. y e. w ph ) )
17 14 16 syl5 
 |-  ( A. x e. z E. y ph -> ( A. y ( y e. w <-> E. x e. z ph ) -> A. x e. z E. y e. w ph ) )
18 17 eximdv 
 |-  ( A. x e. z E. y ph -> ( E. w A. y ( y e. w <-> E. x e. z ph ) -> E. w A. x e. z E. y e. w ph ) )
19 18 imp 
 |-  ( ( A. x e. z E. y ph /\ E. w A. y ( y e. w <-> E. x e. z ph ) ) -> E. w A. x e. z E. y e. w ph )